2012-2013学年湖南省岳阳一中高三（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={x|1＜x＜5，x∈N^*}，集合A={2，3}，则C_UA=（ ）
A．{4}
B．{2，3，4}
C．{2，3}
D．{1，4}

2. 难度：中等

命题“∃x∈∁_RQ，∈Q”的否定是（ ）
A．∃x∉C_RQ，∈Q
B．∃x∈C_RQ，∉Q
C．∀x∉C_RQ，∈Q
D．∀x∈C_RQ，∉Q

3. 难度：中等

函数f（x）=2^x+2^-x的图象关于（ ）对称．
A．坐标原点
B．直线y=
C．x轴
D．y轴

4. 难度：中等

设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4}，且⊥，⊥，则+=（ ）
A．（3，3）
B．（3，-1）
C．（-1，3）
D．

5. 难度：中等

（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．1

6. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列函数中最小正周期是π且图象关于点成中心对称的一个函数是（ ）
A．y=sin（
B．y=cos（2x-
C．y=cos（2x-
D．y=sin（2x-

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点
B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点
C．无论a为何值，均有2个零点
D．无论a为何值，均有4个零点

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=（x-5）的定义域是    ．

10. 难度：中等

若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为    ．

11. 难度：中等

已知直线y-x=1与曲线y=e^x（其中e为自然数2.71828…）相切于点p，则点p的点坐标为    ．

12. 难度：中等

如图，是函数f（x）=Asin（φx+φ）（其中A＞0，φ＞0，0＜φ＜π）的部分图象，则其解析为    ．

13. 难度：中等

已知O为△ABC内一点，D为BC中点，且，则=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=在区间（0，4]上是增函数，则实数a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R₊）满足：①∀x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）则
（1）f（2013）=    ；
（2）方程f（x）=f（2013）的解的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：x∈A，且A={x|a-1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x²-4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若对∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=B，．
（Ⅰ）求边c的长；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x名（x∈N^*）
（1）设完成A 型零件加工所需时间为f（x）小时，写出f（x）的解析式；
（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2lnx-x²．
（I） 求函数y=f（x）在上的最大值．
（II）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂．y=g′（x）是
y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，q≥p．
求证：g′（px₁+qx₂）＜0．