2012-2013学年河北省邢台市临城中学高三（上）数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，集合B是f（x）=ln（1-|x|）的定义域，则A∪B（ ）
A．[]
B．（-1，2]
C．（-1，1）∪（1，2）
D．（-1，2）

2. 难度：中等

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．

3. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）和y=g（x），则“y=f（x）和y=g（x）都是奇函数”是“y=f（x）+g（x）是奇函数”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，如下列结论中不正确的是．（ ）
A．AB⊥SA
B．BC∥平面SAD
C．BC与SA所成的角等于AD与SC所成的角
D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为，则数列{a_n}（ ）
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项

7. 难度：中等

若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．[0，1）∪（1，4]
D．（0，1）

8. 难度：中等

ω是正实数，设S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函数}，若对每个实数a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超过4个，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，π]
B．（0，2π]
C．（0，3π]
D．（0，4π]

9. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是 （ ）
A．b＜0且c＞0
B．b＞0且c＜0
C．b＜0且c=0
D．b＞0 且c=0

10. 难度：中等

下列命题中，真命题的个数是（ ）
①a∥b，a，c异面，则b、c异面        ②a，b共面，b、c异面，则a、c异面
③a，b异面，a、c共面，则b、c异面     ④a，b异面，b、c不相交，则a、c不相交．
A．0个
B．1 个
C．2个
D．4个

11. 难度：中等

已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x²+y²=4在区域D内的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如果偶函数f（x）在R上可导，且是周期为T=3的周期函数，且f′（1）=0，则方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根个数至少是（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5

二、填空题

13. 难度：中等

△ABC中，它的三边分别为a，b，c，若A=120°，a=5，则b+c的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知命题“函数f（x）=log₂（x²+ax+1）定义域为R”是假命题，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=2^x为R上的“1高调函数”；
②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log₂x）＞的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，设函数．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范围．

19. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分别为C₁C、BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M、N分别为棱DD₁、AB、BC的中点．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）画出一个正方体的表面展开图，使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B两点间的距离（设正方体的棱长为1）．

22. 难度：中等

已知函数（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求证：．