2012-2013学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为    ．

2. 难度：中等

已知复数z=-1+i（为虚数单位），计算：=    ．

3. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为     ．

4. 难度：中等

根据如图所示的算法，可知输出的结果为    ．

5. 难度：中等

已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为    ．

6. 难度：中等

函数的最小正周期为    ．

7. 难度：中等

函数的值域为    ．

8. 难度：中等

已知点A（1，1）和点B（-1，-3）在曲线C：y=ax³+bx²+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a³+b²+d=    ．

9. 难度：中等

已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为    ．

10. 难度：中等

给出下列命题：
（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，所有真命题的序号为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，，则=    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，圆C：x²+y²=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知实数x，y同时满足，，27^y-4^x≤1，则x+y的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α-β）的值；     
（2）求cosβ的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；
（3）求证：DN⊥平面PCB．

17. 难度：中等

第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b为常数且满足b＜a．组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（l＞2b），如图．设AE=x，△AEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF₂的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF₁并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁、k₂，试问是否存在常数λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=15，数列{b_n}是等比数列，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₁=b₂，a₄=b₃．求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃是正整数且成等比数列，求a₃的最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x-a|-lnx．
（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
求证：DE²=DB•DA．

22. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．
（1）求矩阵A；
（2）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的极坐标方程为，曲线C₂的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）设f（x）=x²-x+l，实数a满足|x-a|＜l，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1．

25. 难度：中等

袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．

26. 难度：中等

空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成a_n个部分．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）写出a_n关于n的表达式并用数学归纳法证明．