2012-2013学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a实数，1+ai=i（2-i），则a等于（ ）
A．2
B．-1
C．1
D．-2

2. 难度：中等

若函数f（x）=-cos²x+（x∈R），则f（x）是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数

3. 难度：中等

学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单 位：元），其中支出在[30，50）（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（ ）

A．100
B．120
C．130
D．390

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，，，则该数列前n项和S_n取得最小值时n的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

5. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的-个充分条件是（ ）
A．m∥n，n∥β，α⊥β
B．n∥β，α∥β
C．m∥n，n⊥β，α∥β
D．m⊥n，n⊥β，α⊥β

6. 难度：中等

甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制（即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为，则比赛打完3局且甲取胜的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v（x）与时间x的关系，若定义“速度差函数”u（x）为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u（x）的图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃}，在S上定义运算⊕：A_i⊕A_j=A_k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，则使关系式（A_i⊕A_i）⊕A_j=A成立的有序数对（i，j）的组数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

设函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=    ．

10. 难度：中等

已知变量x、y满足，则x+y的最小值是    ．

11. 难度：中等

如图所示的算法流程图中（注：“A=1”也可写成“A：=1”或“A←1”，均表示赋值语句），第4个输出的数是    ．

12. 难度：中等

已知实数a＞0，b＞0，A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上的三点，若AC⊥BC，则ab的最大值为    ．

13. 难度：中等

设，则二项式的展开式中常数项是    ．

14. 难度：中等

（理）在直角坐标系中，圆C的参数方程是（θ为参数），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，直线MN切
⊙O于D，∠MDA=45°，则∠DCB=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数x，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（A）=1，，，求A和a．

17. 难度：中等

某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培．现知垒市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；
（2）任选3名教师，记ξ为3人中选择不参加培训的人数，求ξ的分布列和期望．

18. 难度：中等

如图，几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，SO⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=SB=SC=A C=4，BC=2．
（l）求直线SB与平面SAC所成角的正弦值；
（2）求几何体SABC的正视图中△S₁A₁B₁的面积；
（3）试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得AP⊥SB，若存在，说明点P的位置并证明；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：已知每生产l万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元．（利润=盈利一亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）若k=e，求函数f（x）的极值；
（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；
（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（-∞，4]上的零点个数．

21. 难度：中等

设数列{a_n}{b_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*．都有，b₁=e，．c_n=a_n•lnb_n（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N^*，不等式恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．