2012-2013学年浙江省杭州市西湖高级中学高二（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点

2. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．[-2，0）∪（0，2]
B．（-1，0）∪（0，2]
C．[-2，2]
D．（-1，2]

3. 难度：中等

设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列几种说法正确的是（ ）
A．A₁C₁⊥AD
B．D₁C₁⊥AB
C．AC₁与DC成45°角
D．A₁C₁与B₁C成60°角

5. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）

A．12π
B．45π
C．57π
D．81π

6. 难度：中等

如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（ ）
A．D、E、F
B．F、D、E
C．E、F、D
D．E、D、F

7. 难度：中等

在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（ ）
A．点P必在直线AC上
B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内
D．点P必在平面ABC外

8. 难度：中等

已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tgθ的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA₁和CC₁上，AP=C₁Q，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，，E为CC₁的中点，则直线AC₁与平面BED的距离为（ ）
A．2
B．
C．
D．1

二、填空题

11. 难度：中等

已知直线b∥平面α，平面α∥平面β，则直线b与β的位置关系为     ．

12. 难度：中等

利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图一定是三角形；                  ②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；            ④菱形的直观图一定是菱形．
以上结论正确的是    ．

13. 难度：中等

一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是     ．

14. 难度：中等

若关于x的方程cos²x-sinx+a=0有解，则实数a的取值范是    ．

15. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

17. 难度：中等

已知：=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）．设函数f（x）=•-．（x∈R）
求：（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[，]时，求f（x）的值域．

18. 难度：中等

如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA₁=2，E是DD₁的中点，F是平面B₁C₁E与直线AA₁的交点．
（1）证明：
（i）EF∥A₁D₁；
（ii）BA₁⊥平面B₁C₁EF；
（2）求BC₁与平面B₁C₁EF所成的角的正弦值．

19. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知b_n＞0（n∈N^*），a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃，S₅=5（T₃+b₂）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：．

20. 难度：中等

空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？