2012-2013学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|2x+1＜3}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B等于（ ）
A．{x|-3＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞-3}
D．{x|x＜1}

2. 难度：中等

“x=30°”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设等比数列{a_n}中，a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则公比q的值为（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．4

4. 难度：中等

命题“∀a∈R，方程ax²-3x-a=O有正实数根”的否定是、（ ）
A．∀a∈R，方程ax²-3x-a=0没有正实数根
B．∀a∈R，方程ax²-3x-a=0没有负实数根
C．∃a∈R，方程ax²一3x-a=0都有正实数根
D．∃a∈R，方程ax²-3x-a=0没有正实数根

5. 难度：中等

在有5个一等品，3个二等品8个零件中，任取3个零件，至少有1个一等品的不同取法种数是（ ）
A．330
B．55
C．56
D．．33

6. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=a^x+b的大致图象是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

定义运算：=（ ）
A．-1+i
B．-1-i
C．1+i
D．1-i

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，AD是BC边上的高，则的值等于（ ）

A．0
B．4
C．8
D．-4

9. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．（0，-1）
B．（-1，1）
C．（0，-1）
D．（-l，1）

10. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x_+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．
其中，正确的判断是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

设函数则c=    ．

12. 难度：中等

程序框图如图所示，执行相应程序，若输入的实数x=3，则输出y的值等于    ．

13. 难度：中等

若的值等于    ．

14. 难度：中等

已知，则z=4x-2y的最小值等于    ．

15. 难度：中等

任意正整数n都可以表示为的形式，其中a=1，当1≤i≤k时，a₁=0或a_i=1．现将等于0的a_f的总个数记为f（n）（例如：l=l×2，4=l×2²+0×2¹十0×2，从而f（1）=0，f（4）=2．由此可以计算求得=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某射击比赛的规则如下：
①每位选手最多射击3次，每次射击击中目标，方可进行下一次射击，否则停止；
②第l次射击时，规定击中目标得（4-i）分，否则得0分（i=1，2，3）．已知选手甲每次射击击中目标的概率均为0.8，且其各次射击结果互不影响，
（I）求甲恰好射击两次就停止的概率；
（II）设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．
（I）判断△ABC的形状；
（II）求y=cosA+sin（B+）的最大值，并求y取得最大值时角C的大小．

18. 难度：中等

如图所示的多面体V-ABCD，它的正视图为直角三角形，侧视图为等腰三角形，俯视图的边界为正方形（尺寸如图所示，单位：cm）．
（I）求多面体V-ABCD的表面积；
（II）设，是否存在实数λ使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，直线与C交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求实数b的取值范围．
（II）是否存在实数b，使得直线OA、OB倾斜角之和等于135°？若存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）令a=2，若经过点A（3，0）可以作三条不同的直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

21. 难度：中等

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为为参数），C₂的参数方程为为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若的定义域为R，求实数m的取值范围．