2012-2013学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．
B．-
C．i
D．-i

2. 难度：中等

下列函数中，满足f（x²）=[f（x）]²的是（ ）
A．f（x）=ln
B．f（x）=|x+1|
C．f（x）=x³
D．f（x）=e^x

3. 难度：中等

执行如图中的程序框图，输出的结果为（ ）

A．15
B．16
C．64
D．65

4. 难度：中等

椭圆的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设x，y满足的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．
D．

6. 难度：中等

一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁+a₃=17，a₂+a₄=68，则a₂a₃=（ ）
A．32
B．256
C．128
D．64

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+1，若命题“∃x＞0，f（x）＜0”为真，则m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]
B．[2，+∞）
C．（-∞，-2）
D．（2，+∞）

9. 难度：中等

△ABC中，点P满足，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形

10. 难度：中等

函数的一段图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已如点M（1，0）及双曲线的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

12. 难度：中等

四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，则该球的表面积为（ ）
A．14π
B．15π
C．16π
D．18π

二、填空题

13. 难度：中等

3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有    种．

14. 难度：中等

已知=    ．

15. 难度：中等

曲线所围成的封闭图形的面积为    ．

16. 难度：中等

数列的前80项的和等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角C的大小；
（II）求的最大值．

18. 难度：中等

从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

20. 难度：中等

设圆F以抛物线P：y²=4x的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．
（I）求圆F的方程；
（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-lnx．
（I）讨论函数f（x）单调性；
（Ⅱ）当时，证明：曲线y=f（x）与其在点P（t，f（t））处的切线至少有两个不同的公共点．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：CD²-DE²=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C_l的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的参数方程为为参数）．
（I）当时，求曲线C_l与C₂公共点的直角坐标；
（II）若，当α变化时，设曲线C₁与C₂的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x-a|，a∈R．
（I）当-1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．