《第2章 圆锥曲线与方程》2013年单元测试卷（梅河口五中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F₁的距离是2，N是MF₁的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（ ）
A．2
B．4
C．8
D．

2. 难度：中等

从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设P是椭圆上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16

4. 难度：中等

设k＞1，则关于x，y的方程（1-k）x²+y²=k²-1所表示的曲线是（ ）
A．长轴在x轴上的椭圆
B．实轴在y轴上的双曲线
C．实轴在x轴上的双曲线
D．长轴在y轴上的椭圆

5. 难度：中等

设F₁和F₂为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

6. 难度：中等

到定点（，0）和定直线x=的距离之比为的动点轨迹方程是（ ）
A．+=1
B．+=1
C．+y²=1
D．x²+=1

7. 难度：中等

若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x轴，焦点在3x-4y-12=0上那么抛物线的方程为（ ）
A．y²=16
B．y²=-16
C．y²=12
D．y²=-12

8. 难度：中等

命题甲：“双曲线C的方程为”，命题乙：“双曲线C的渐近线方程为”，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

10. 难度：中等

若双曲线x²-y²=1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（ ）
A．-
B．
C．±
D．±2

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线8kx²-ky²=8的一个焦点为（0，3），则k的值为    ．

12. 难度：中等

如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且a-c=那么椭圆的方程是    ．

13. 难度：中等

椭圆关于抛物线y²=-4x的准线l对称的椭圆方程是    ．

14. 难度：中等

关于曲线x³-y³+9x²y+9xy²=0，有下列命题：
①曲线关于原点对称；
②曲线关于x轴对称；
③曲线关于y轴对称；
④曲线关于直线y=x对称；
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

直线l：y=mx+1，双曲线C：3x²-y²=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

16. 难度：中等

直线l过点M（1，1），与椭圆+=1交于P，Q两点，已知线段PQ的中点横坐标为，求直线l的方程．

17. 难度：中等

已知椭圆的两焦点为F₁（0，-1）、F₂（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求tan∠F₁PF₂的值．

18. 难度：中等

某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米．在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？

19. 难度：中等

过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

20. 难度：中等

将曲线log₂x+log₂y=2沿x、y轴-分别向右平移两个单位，向上平移一个单位，此时直线x+y+a=0与此曲线仅有一个公共点，求实数a的值．