2012-2013学年安徽省马鞍山市红星中学、安工大附中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则x=y
B．若x²=1，则x=1
C．若x=y，则
D．若x＜y，则x²＜y²

2. 难度：中等

若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（ ）
A．=（1，0，0），=（-2，0，0）
B．=（1，3，5），=（1，0，1）
C．=（0，2，1），=（-1，0，-1）
D．=（1，-1，3），=（0，3，1）

3. 难度：中等

命题“若¬p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）
A．若p，则q
B．若p，则┐q
C．若┐q，则p
D．若┐q，则┐p

4. 难度：中等

设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则双曲线的离心率e=（ ）
A．5
B．
C．
D．

5. 难度：中等

“f（x，y）=0”是“点P（x，y）在曲线f（x，y）=0上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为（ ）
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．90°

7. 难度：中等

下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有
②，则共线的充要条件是：；
③若共线，则表示的有向线段所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R）且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知双曲线x²-=1，那么它的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．3
D．4

9. 难度：中等

过椭圆的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过点M（-2，0）的直线l与椭圆x²+2y²=2交于P₁，P₂，线段P₁P₂的中点为P．设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于（ ）
A．-2
B．2
C．
D．-

二、填空题

11. 难度：中等

若命题p：∀x∈R，x²-1＞0，则命题p的否定是     ．

12. 难度：中等

命题“若x+2y≠5，则x≠1或y≠2”是    命题（填真，假）

13. 难度：中等

等边三角形ABC的边长为a，则=    ．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2）．则|PA|+|PF|的最小值是    ，取最小值时P点的坐标    ．

15. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB与CD所成角为60°；③△ACD为正三角形；④AB与平面BCD所成角为60°．其中正确的结论是    （填写结论的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知：=（x，4，1），=（-2，y，-1），=（3，-2，z），∥，⊥，求：
（1），，；
（2）（+）与（+）所成角的余弦值．

17. 难度：中等

已知命题P：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0
（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；
（2）求证：是一个定值．

19. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．