2012-2013学年浙江省宁波市宁海县知恩中学高二（上）12月段考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（0，）
B．（，0）
C．（1，0）
D．（0，1）

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x•cos2x，则f（x）的导函数f′（x）=（ ）
A．cos2x-2xsin2
B．cos2x-xsin2
C．cos2x+2xsin2
D．cos2x+xsin2

3. 难度：中等

如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞3
B．a＜-2
C．a＞3或a＜-2
D．a＞3或-6＜a＜-2

4. 难度：中等

设α∈[0，π]，则方程x²sinα+y²cosα=1不能表示的曲线为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

5. 难度：中等

图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①-3是函数y=f（x）的极值点；
②-1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）

A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

6. 难度：中等

已知△ABC的两个顶点A、B分别是椭圆+=1 的左、右焦点，三个内角A、B、C满足sinA-sinB=sinC，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．-=1
B．-=1  （x＜0）
C．-=1 （x＜-2 ）
D．-=1

7. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线l：ax+y-3a+1=0（a∈R），椭圆C：+=1，直线l与椭圆C的公共点的个数为（ ）
A．1个
B．1个或者2个
C．2个
D．0个

9. 难度：中等

已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．8
B．
C．10
D．

10. 难度：中等

已知F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）=x³-2x²+3x-1的单调递增区间为    ．

12. 难度：中等

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C与A、B两点，则|AB|=    ．

13. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=1，则a的值为     ．

14. 难度：中等

曲线f（x）=在点P（1，0）处的切线方程是    ．

15. 难度：中等

与抛物线有共同焦点，且一条渐近线方程是x+y=0的双曲线的方程是    ．

16. 难度：中等

已知动点p（x，y）在椭圆=1上，若A点坐标为（3，0）=1且=0，则||的最小值是    

17. 难度：中等

已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与（1，0）到直线的距离之和，则e的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知双曲线的中心在原点，焦点为F₁（5，0），F₂（-5，0），且过点（3，0），
（1）求双曲线的标准方程．
（2）求双曲线的离心率及准线方程．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax+b．
（1）若f（x）在x=0处取得极值为-2，求a、b的值；
（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

22. 难度：中等

已知椭圆+=1（0＜b＜2）的离心率等于，抛物线x²=2py （p＞0）．
（1）若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程；
（2）若抛物线的焦点F为（0，），在抛物线上是否存在点P，使得过点P的切线与椭圆相交于A，B两点，且满足OA⊥OB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．