2012-2013学年江苏省苏州市张家港外国语学校高二（上）周日数学试卷11（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，sinx＞0”的否定是    ．

2. 难度：中等

已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则复数的虚部为    ．

3. 难度：中等

已知椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知（a+i）²=2i，其中i是虚数单位，那么实数 a=    ．

5. 难度：中等

底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为    m²．

6. 难度：中等

若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是    ．

7. 难度：中等

若m∈（0，3），则直线（m+2）x+（3-m）y-3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为    ．

8. 难度：中等

若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为x+3y=0，则此双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA，PB，PC两两成60°角，PA=PB=PC=1cm，则球的表面积为    cm²．

10. 难度：中等

过点P（5，4）作直线l与圆O：x²+y²=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为    ．

11. 难度：中等

若关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为    ．

12. 难度：中等

过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax-2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

如果圆（x-a）²+（y-a）²=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，证明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）设D是BC的中点，E是A₁C₁上的一点，且A₁B∥平面B₁DE，求的值．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

17. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若=0，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求证：当0≤x≤1时，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：（x-1）²+y²=16与点A（-1，0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连接QM，QN，分别交直线x=t（t为常数，且t≠2）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

19. 难度：中等

如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f（t）表示该地块在直路左下部分的面积．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面积S=f（t）的最大值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²-alnx与的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行（斜率相等）．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P'（-4，0）
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

22. 难度：中等

选修4-4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy中，动圆x²+y²-8xcosθ-6ysinθ+7cos²θ+8=0（θ∈R）的圆心为P（x，y），求2x-y的取值范围．

23. 难度：中等

附加题（必做题）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）设，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，求λ的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

24. 难度：中等

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（3）证明：．