2012-2013学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱
D．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形

2. 难度：中等

对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画出作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A．2倍
B．倍
C．倍
D．倍

3. 难度：中等

点M在直线a上，直线b在平面α内，则M与a，b与α间的关系可用符号表示为（ ）
A．M∈a，b∈α
B．M⊂a，b∈α
C．M∈a，b⊂α
D．M⊂a，b⊂α

4. 难度：中等

异面直线所成角θ的范围是（ ）
A．0°＜θ＜90°
B．0°＜θ＜180°
C．0°＜θ≤90°
D．0°≤θ＜90°

5. 难度：中等

一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（ ）

A．（24+8）cm²
B．24πcm²
C．cm²
D．cm²

6. 难度：中等

P是△ABC所在平面α外的一点，P到△ABC三边的距离相等，PO⊥α于O，O在△ABC内，则O是△ABC的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心

7. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

8. 难度：中等

正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ，则θ的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（，）
C．（，）
D．（，π）

9. 难度：中等

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，既与AB共面也与CC₁共面的棱的条数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D₁B所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图：正四面体S-ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）

A．90°
B．45°
C．60°
D．30°

12. 难度：中等

在如图所示五个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是（ ）

A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④

二、填空题

13. 难度：中等

已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于    ．

14. 难度：中等

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为    ．

15. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于     ．

16. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

18. 难度：中等

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．图（2）、图（3）分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG．

19. 难度：中等

如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A₁C₁的中点，求MN与CC₁所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．

21. 难度：中等

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=，求证：平面PMC⊥平面PCD．

22. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

23. 难度：中等

如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．