2012-2013学年广东省广州市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数i（2-3i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{0，4}
C．{2，4}
D．{0，2，4}

3. 难度：中等

已知函数，则的值是（ ）
A．9
B．-9
C．
D．

4. 难度：中等

设向量=（2，x-1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

函数y=f（x）的图象向右平移单位后与函数y=sin2x的图象重合，则y=f（x）的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是（ ）
A．6
B．8
C．
D．3

7. 难度：中等

在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1-y）若对任意x＞2，不等式（x-a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，7]
B．（-∞，3]
C．（-∞，7]
D．（-∞，-1]∪[7，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₄+a₅=12，则S₇的值为    ．

10. 难度：中等

若的展开式的常数项为84，则a的值为    ．

11. 难度：中等

若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为    ．

12. 难度：中等

圆x²+y²+2x+4y-15=0上到直线x-2y=0的距离为的点的个数是    ．

13. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出S的值是    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求sinA的值；  
（2）求cos2C的值．

17. 难度：中等

某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

中学	A	B	C	D
人数	30	40	20	10

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；
（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：MN∥面PAD；
（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．

19. 难度：中等

如图，已知抛物线P：y²=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，，OC与AB交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求四边形AOBC的面积的最小值．

20. 难度：中等

在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

21. 难度：中等

若函数f（x）对任意的实数x₁，x₂∈D，均有|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，
（1）判断g（x）=sinx和h（x）=x²-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）若数列{x_n}对所有的正整数n都有 ，设y_n=sinx_n，求证：．