2012-2013学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

抛物线x²=2y的焦点坐标是    ．

2. 难度：中等

一质点的运动方程为s=t²+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为    ．

3. 难度：中等

命题“∀x∈R，”的否定是    ．

4. 难度：中等

设AA₁是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA₁垂直的棱共有    条．

5. 难度：中等

“a=3”是“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a-1）y-2=0平行”的    条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一填空）

6. 难度：中等

从圆（x-1）²+（y-1）²=1外一点P（2，3）向这个圆引切线，则切线长为     ．

7. 难度：中等

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点，则双曲线的标准方程为    ．

8. 难度：中等

已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18，侧棱长为13，则这个棱台的侧面积为    ．

9. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，右准线为l₁，若过F₁且垂直于x轴的弦长等于点F₁到l₁的距离，则椭圆的率心率是     ．

10. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；
③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；
④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是    ．

11. 难度：中等

函数y=2x²-lnx的单调增区间为    ．

12. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则三棱锥P-ABC的体积为    ．

13. 难度：中等

函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0），A（-2，4），B（1，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为，且直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，点D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

17. 难度：中等

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x²+y²=1 与x轴交于A，B两点．
（1）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（2）过M点作直线l₁与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F₁F₂，求三角形△NF₁F₂面积．

18. 难度：中等

如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形ABCD的形状，使得A，B，C，D都落在抛物线上，点A，B关于抛物线的对称轴对称且AB=4，抛物线的顶点到底边AB的距离是4，记CD=2t，梯形面积为S．以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求出钢板轮廓所在抛物线的方程；
（2）求面积S关于t的函数解析式，并写出其定义域；
（3）求面积S的最大值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）无极值点，求c的取值范围；
（3）若f（x）在x=t处取得极大值，记此极大值为g（t），求g（t）的定义域和值域．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率为，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点，使．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA²+OB²的值．

21. 难度：中等

求函数f（x）=e^1-2x在点处的切线方程．

22. 难度：中等

设A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且||=，动点P满足，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程．

23. 难度：中等

如图，多面体ABCDS中面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a（a＞0），AB=2AD，SD=AD，E为CD四等分点（紧靠D点）．
（I）求证：AE与⊥平面SBD
（II）求二面角A-SB-D的余弦值．

24. 难度：中等

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
（2）我们知道：“过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心”（定点）．受此启发，研究下面问题：
对于抛物线y²=2px（p＞0）上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？