2012-2013学年辽宁省实验中学分校高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={-1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1}
D．{-1，0，1}

2. 难度：中等

向量在向量上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设命题p：m≥，命题q：一元二次方程x²+x+m=0有实数解．则￢p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中有a₃a₁₁=4a₇，数列{b_n}是等差数列，且a₇=b₇，则b₅+b₉=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

5. 难度：中等

直线y=kx+b与曲线y=x³+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（ ）
A．-3
B．9
C．-15
D．-7

6. 难度：中等

设m、n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（ ）
A．l₁⊥m，l₁⊥n
B．m⊥l₁，m⊥l₂
C．m⊥l₁，n⊥l₂
D．m∥n，l₁⊥n

7. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9

8. 难度：中等

函数的图象向左平移个单位，所得的图形对应的函数是（ ）
A．偶函数，值域为[0，1]
B．奇函数，值域为[0，2]
C．偶函数，值域为[0，2]
D．奇函数，值域为[0，1]

9. 难度：中等

已知f （x）=log₂x，则函数y=f^-1（1-x）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球的半径为（ ）

A．
B．
C．2
D．

11. 难度：中等

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），记△=4（b²-3ac），则当△≤0且a＞0时，f（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤1时，f（x）=x³．若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（1，5）
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，满足||=1，=2，（-）•=0，则与的夹角为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（+x）+bx³+x²，其中a、b为常数，f（1）=3，则f（-1）=    ．

15. 难度：中等

下列结论：
①已知命题p：∃x∈R，tanx=1；命题q：∀x∈R，x²-x+1＞0．则命题“p∧¬q”是假命题；
②函数的最小值为且它的图象关于y轴对称；
③“a＞b”是“2^a＞2^b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC中是直角三角形．
⑤若；
其中正确命题的序号为    ．（把你认为正确的命题序号填在横线处）

16. 难度：中等

已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知集合P={x|2x²-3x+1≤0}，Q={x|（x-a）（x-a-1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n为数列{c_n}的前n项和．求T_n．

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥底面ABCD．
（1）求证：AQ∥平面CEP；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱锥E-AQC的体积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+lnx
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证：＜ln＜．

22. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+）+mlnx-（m+1）x+，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．