2012-2013学年江苏省南通市如东县四校高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=log₂（x-2）}，B={x|x²-5x+4＜0}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足z•（1-i）=2，其中i为虚数单位，则z=    ．

3. 难度：中等

已知点A（-1，-5）和向量，若，则点B的坐标为    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+（b-3）x+3，x∈[2a-3，4-a]是偶函数，则a+b=    ．

5. 难度：中等

已知x∈R，那么的    条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）

6. 难度：中等

为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向    平移    个单位长度

7. 难度：中等

若存在实数x∈[1，2]满足2x²-ax+2＞0，则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为    ．

9. 难度：中等

已知=    ．

10. 难度：中等

定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x²+1，5-3x}，则f（x）的最大值是    ．

11. 难度：中等

在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于    ．

12. 难度：中等

若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得    ．

13. 难度：中等

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是    ．

14. 难度：中等

已知函数，函数-2a+2（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，且，A∪B=R，
（1）求A；
（2）实数a+b的值．

16. 难度：中等

如图，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，，E、F分别是A₁C₁、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB₁C₁C；（2）平面CEF⊥平面ABC．

17. 难度：中等

若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos²A=a
（1）求；
（2）当cosC=时，求cos（B-A）的值．

18. 难度：中等

如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

19. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ=，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．

22. 难度：中等

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．

23. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，点P在平面A₁B₁C₁D₁，D₁P⊥平面PCE．
试求：
（1）线段D₁P的长；
（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．