2012-2013学年江苏省扬州中学高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，e^x=x-1”的否定是    ．

2. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点坐标是   

3. 难度：中等

根据如图的算法，输出的结果是    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=x-sinx，则f′（x）=    ．

5. 难度：中等

若双曲线的离心率为2，则m的值为    ．

6. 难度：中等

已知直线l₁：ax+3y+1=0，l₂：2x+（a+5）y+1=0，若l₁∥l₂，则实数a的值是    ．

7. 难度：中等

将一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为x，y．则x≠y的概率为    ．

8. 难度：中等

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x_n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n	1	2	3	4	5
成绩xn	73	76	76	77	72

则这6位同学成绩的方差是    ．

9. 难度：中等

以下对形如“x=ky+b（k，b∈R）”的直线描述正确的序号是    ．
①能垂直于y轴；②不能垂直于y轴；③能垂直于x轴；④不能垂直于x轴．

10. 难度：中等

若“x²-2x-3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+（2c-3a-2b）x+d（a＞0）的图象如图所示，且f′（1）=0．则c+d的值是    ．

12. 难度：中等

已知实数x∈[0，8]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为    ．

13. 难度：中等

已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f'（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（x）＞f（1）e^x的解集是    ．

14. 难度：中等

已知椭圆E：，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

求实数m的取值组成的集合M，使x∈M时，“p或q”为真，“p且q”为假．其中p：方程x²-mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．

16. 难度：中等

调查某校100名学生的数学成绩情况，得下表：

	一般	良好	优秀
男生（人）	x	18	y
女生（人）	10	17	z

已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到成绩一般的男生的概率为0.15．
（1）求x的值；
（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取20名，问应在优秀学生中抽多少名？
（3）已知y≥17，z≥18，优秀学生中男生不少于女生的概率．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（-1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R）
（1）求圆M的方程；
（2）证明：直线l与圆M相交；
（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．

18. 难度：中等

如图，过点（0，a³）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C．
（1）若a=1，求矩形ABCD面积；
（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面积的最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆左右两焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．
（3）若a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．