2012-2013学年江苏省淮安市洪泽中学高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积，若向量，满足，则∠C=    ．

2. 难度：中等

已知a≥0，b≥0，a+b=1，则取值范围是    ．

3. 难度：中等

已知下列命题：
①=0；
②函数y=f（|x|-1）的图象向左平移1个单位后得到的函数图象解析式为y=f（|x|）；
③函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
④满足条件AC=，B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．
其中正确命题的序号是    ．

4. 难度：中等

已知数列的通项a_n=-5n+2，则其前n项和S_n=    ．

5. 难度：中等

设函数，g（x）=x²f（x-1）（x∈R），则函数g（x）的单调递减区间是    ．

6. 难度：中等

若不等式ax²+x+b＞0的解为，则a=    ，b=    ．

7. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAD=60°，则AC₁的长为多少？．

8. 难度：中等

圆x²+y²+Ax+By=0与直线Ax+By=0（A²+B²≠0）的位置关系是    ．（相交、相切、相离）

9. 难度：中等

空间四边形OABC中，OB=6，OC=4，BC=4，，则cos＜＞的值是    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为    ．

11. 难度：中等

已知函数，则满足f（x）≥1的x的取值范围为    ．

12. 难度：中等

已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与C交于两点A、B，若|AB|=5，则满足条件的l的条数为    ．

13. 难度：中等

过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x²+y²+kx+2y+k²-15=0 相切，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若a＞b，则f（x）=（sinA-sinB）•x在R上是增函数；
②若a²-b²=（acosB+bcosA）²，则△ABC是Rt△；
③cosC+sinC的最小值为；
④若cos2A=cos2B，则A=B；
⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，
其中错误命题的序号是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？
（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．

16. 难度：中等

2012年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱，尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新意．王力宏和李云迪的钢琴PK，加上背景板的黑白键盘，更被网友称赞是行云流水的感觉．某网站从2012年1月23号到1月30做了持续一周的在线调查，共有n人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．

序号	年龄分组	组中值mi	频数（人数）	频率（f）
1	[20，25）	22.5	x	s
2	[25，30）	27.5	800	t
3	[30，35）	32.5	y	0.40
4	[35，40）	37.5	1600	0.32
5	[40，45）	42.5	z	0.04

（1）求n及表中x，y，z，s，t的值．
（2）为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算，分析其中一部分计算，见算法流程图，求输出的S值，并说明S的统计意义．
（3）从年龄在[20，30）岁人群中采用分层抽样法抽取6人参加元宵晚会活动，其中选取2人作为代表发言，求选取2名代表中恰有1人年龄在[25，30）岁的概率．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（ 2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

18. 难度：中等

数列{a_n}中，a_n+1是函数的极小值点，且a₁=3，a_n＞0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与2ⁿ的大小关系．

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，，，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
（1）求的值．
（2）判断的值是否为一个常数，并说明理由．

20. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．