2012-2013学年广东省广州六中高三（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P和Q是两个集合，如果P={x|log₂x＜1}，Q={x|x²-4x+4＜1}，那么P∩Q等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|1＜x＜3}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比q=2，前n项和为S_n，则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

3. 难度：中等

已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知=（1，n），=（-1，n），若2-与垂直，则||=（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

5. 难度：中等

若圆x²+y²-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为，则a的值为（ ）
A．-2或2
B．或
C．2或0
D．-2或0

6. 难度：中等

给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20

7. 难度：中等

函数的图象为C，如下结论中不正确的是（ ）
A．图象C关于直线对称
B．图象C关于点对称
C．函数f（x）在区间内是增函数
D．由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C

8. 难度：中等

“a=1”是“函数f（x）=|x-a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ）
A．
B．
C．2cm
D．4cm

10. 难度：中等

某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为（ ）
A．乙，甲，丙
B．甲、丙、乙
C．甲、乙、丙
D．丙、甲、乙

二、填空题

11. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为    ．

12. 难度：中等

如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=    ．

13. 难度：中等

设方程x²-mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

把参数方程（θ为参数）化为普通方程是    ．极坐标系中，圆的圆心坐标是    ．

15. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=m：n，若△AEF的面积等于acm²，则△CDF的面积等于    cm²．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，a为实常数．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若f（x）在上最大值与最小值之和为3，求a的值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；  
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤-2c²恒成立，求c的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥底面ABCD．
（1）求证：AQ∥平面CEP；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱锥E-AQC的体积．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

20. 难度：中等

本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

21. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．