2012-2013学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，3，5}，集合B={2，a，b}，若A∩B={1，3}，则a+b的值是（ ）
A．10
B．9
C．4
D．7

2. 难度：中等

如图在复平面内，复数z₁，z₂对应的向量分别是，则复数z₁-z₂的值是（ ）
A．-1+2i
B．-2-2i
C．1+2i
D．1-2i

3. 难度：中等

若点（9，a）在函数y=log₃x的图象上，则tan=的值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

若向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）
A．100
B．1000
C．90
D．900

6. 难度：中等

如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于（ ）

A．17cm
B．
C．16cm
D．14cm

7. 难度：中等

若实数x，y满足条件则|x-3y|的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

8. 难度：中等

按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15，则判断框中的整数H=（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

给出下面结论：
①命题p：“∃x∈R，x-3x+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x²-3x+2＜0”
②函数f（x）=2^x+3x的零点所在区间是（-1，0）；
③函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数图象；
④对于直线m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

定义为n个正数p₁，p₂，…p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知，，若均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则a-t=    ．

12. 难度：中等

已知：，则的值为    ．

13. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8，其中正确的是    、

14. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，C在半圆上，CD⊥AB于D，且AD=3DB，设∠COD=θ，则=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程）已知直线l：ρcosθ-ρsinθ=4，圆C：ρ=4cosθ，则直线l与圆C的位置关系是    ．（相交或相切或相离？）

三、解答题

16. 难度：中等

某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下

等级	1	2	3	4	5
频率	0.05	m	0.15	0.35	n

（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．

17. 难度：中等

已知：函数的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

18. 难度：中等

已知正项等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为，试问当n为何值时，f（n）最大，并求出f（n）的最大值．

19. 难度：中等

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，，AE=EC=1．
（1）求证：AE⊥平面BCEF；
（2）求三棱锥D-ACF的体积．

20. 难度：中等

某种上市股票在30天内每股的交易价格P（元）、日交易量Q（万股）与时间t（天）的对应关系分别如下：[有序数对（t，P）落在图中的折线上，日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如表所示．]

第t天	4	10	16	22
Q（万股）	36	30	24	18

（1）根据图甲的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；
（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？
（注：各函数关系式都要写出定义域．）

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）（i）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x使得g（x）=0；
（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．