2012-2013学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数z满足（1-i）z=2，则z=    ．

3. 难度：中等

某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是    ．

4. 难度：中等

正项等比数列{a_n}中，a₃a₁₁=16，则log₂a₂+log₂a₁₂=    ．

5. 难度：中等

在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法流程图，若输入x的值为-4，则输出y的值为    ．

7. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为    ．

8. 难度：中等

如果函数y=3sin（2x+ϕ）（0＜ϕ＜π）的图象关于点（，0）中心对称，则ϕ=    ．

9. 难度：中等

等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=4x的准线交于A、B两点，AB=，则C的实轴长为    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为    ．

11. 难度：中等

二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）V=πr³，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³，猜想其四维测度W=    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x-1）²+（y-1）²=4，C为圆心，点P为圆上任意一点，则的最大值为    ．

13. 难度：中等

如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为    ．

14. 难度：中等

关于x的不等式x²-ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若=2，求b的最小值．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC₁上，且AC₁=4AF．
（1）求证：平面ADF⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：EF∥平面ABB₁A₁．

17. 难度：中等

某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y（万元）随医疗总费用x（万元）增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x²+4x+8）作为报销方案；
（2）若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a（a为常数）作为报销方案，请你确定整数a的值．（参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3）

18. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F₁，F₂，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数，其中m∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）的零点个数．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₂=a（a为非零常数），其前n项和S_n满足：S_n=
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=2，且a_m²-S_n=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{a_n}中满足a_n+b≤p的最大项恰为第3p-2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．