2012-2013学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷（成志班）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是    ．

2. 难度：中等

三个球的半径之比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积与另两个球的体积之和的比是    ．

3. 难度：中等

△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为    ．

4. 难度：中等

如果命题p是命题q成立的必要条件，那么命题“¬p”是命题“¬q”成立的    条件．

5. 难度：中等

设有直线m，n和平面α、β，下列四个命题中，正确的序号是    ．
（1）若m∥α，n∥α，则m∥n      
（2）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
（3）若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
（4）若若α⊥β，m⊥β，m⊈α，则m∥α

6. 难度：中等

在正三棱锥S-ABC中，异面直线AS与BC所成角的大小为    ．

7. 难度：中等

若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是    ．

8. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC的中点，D是AA₁上的一个动点，且，若AE∥平面DB₁C，则m的值等于    ．

9. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+m}，且M∩N≠∅，则m的取值范围为    ．

10. 难度：中等

如图，S-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面ABC内一点，若∠OSA=α，∠OSB=β，∠OSC=γ，那么tanαtanβtanγ的取值范围为    ．

11. 难度：中等

当m=    时，原点O到动直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的距离最大．

12. 难度：中等

有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是    ．

13. 难度：中等

若⊙O₁：x²+y²=5与⊙O₂：（x-m）²+y²=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是   

14. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4，AB为圆O的任意一条直径，P（1，3），Q（-1，0），则当PA+AB+BQ最小时，直径AB所在的直线方程为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设命题P：关于x的不等2^x＜a的解集为∅；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．

16. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

17. 难度：中等

树林的边界是直线l（如图所示），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点B点处，AB=BC=a（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M∈AD）方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．
（1）求兔子被狼吃掉的点的区域面积S（a）；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（θ=∠DAC）的取值范围．

18. 难度：中等

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

19. 难度：中等

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F在CD上（不含C，D两点）
（1）求多面体ABCDE的体积；
（2）若F为CD中点，求证：EF⊥面BCD；
（3 ） 当的值为多少时，能使AC∥平面EFB，并给出证明．

20. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4，动点P（t，0）（-2≤t≤2），曲线C：y=3|x-t|．曲线C与圆O相交于两个不同的点M，N
（1）若t=1，求线段MN的中点P的坐标；
（2）求证：线段MN的长度为定值；
（3）若，m，n，s，p均为正整数．试问：曲线C上是否存在两点A（m，n），B（s，p）（11），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1）？若存在请求出所有的点A，B；若不存在请说明理由．