2012-2013学年广东省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．在平面内到一个定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹是抛物线
B．在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆
C．在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线
D．在平面内到一定点距离等于定长（不等于零）的点的轨迹是圆

2. 难度：中等

椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=3，则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

双曲线上的一点P到它一个焦点的距离为4，则点P到另一焦点的距离是（ ）
A．2
B．10
C．10或2
D．14

4. 难度：中等

直线与圆（x-1）²+（y+3）²=16的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心
B．相交但不过圆心
C．相切
D．相离

5. 难度：中等

如图所示的区域所对应的不等式组为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

椭圆，点M在椭圆上，等于-2，则△F₁MF₂的面积等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为y=±2x，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．

8. 难度：中等

已知直线mx-y+1=0交抛物线y=x²于A、B两点，则△AOB（ ）
A．为直角三角形
B．为锐角三角形
C．为钝角三角形
D．前三种形状都有可能

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线x²=-y的焦点为    ，准线是    ．

10. 难度：中等

过双曲线的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|=    ．

11. 难度：中等

过点（0，4）可作    条直线与双曲线y²-4x²=16有且只有一个公共点．

12. 难度：中等

已知点F为抛物线y2=4x的焦点，过抛物线上的点M作其准线的垂线，垂足为N，若以线段NF为直径的圆C恰好过点M，则圆C的标准方程是     ．

13. 难度：中等

过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是    ．

三、解答题

14. 难度：中等

求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e=的椭圆
（2）准线为，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线．

15. 难度：中等

已知圆，圆，点P满足
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点Q（1，2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

四、填空题

17. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx； 
④
对应的曲线中存在“自公切线”的有    ．

18. 难度：中等

如图，已知椭圆，O为原点，点M是椭圆右准线上的动点，以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆交于P、Q两点，直线PQ与椭圆相交于A、B两点，则|AB|的取值范围是    ．

五、解答题

19. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，直线l：（m+1）x-y-2m-3=0（m∈R）
（1）求证：无论m取什么实数，直线恒与圆交于两点；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长最小时的直线方程．

20. 难度：中等

A村在C村正北km处，B地在C村正西16km处，已知弧形公路PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km．
（1）如图，以BC中点O为原点，建立坐标系，求弧形公路PQ所在曲线的方程；
（2）现要在公路旁建造一个变电站M分别向A村、C村送电，但A村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向A村要架两条线路分别给村民和工厂送电．要使用电线最短，变电站M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离．

21. 难度：中等

点P到x轴的距离比它到点（0，1）的距离小1，称点P的轨迹为曲线C，点M为直线l：y=-m （m＞0）上任意一点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当M的坐标为（0，-l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由．