2012-2013学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x²-2x＜0}，B={x|x＞1}，则集A∩∁_UB=    ．

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则等于    ．

3. 难度：中等

某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为    ．

4. 难度：中等

右边的程序语句运行后，输出的S为    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为    ．

6. 难度：中等

已知向量不超过5，则k的取值范围是     ．

7. 难度：中等

已知P：|x-a|＜4；q：（x-2）（3-x）＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围为    ．

8. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，表示平面区域M，若-4≤a≤t时，动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7．则t=    ．

9. 难度：中等

已知圆C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圆C₂与圆C₁关于直线x-y-1=0对称，则圆C₂的方程为    ．

10. 难度：中等

等差数列{a_n}的公差为-2，且a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₂₀=    ．

11. 难度：中等

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为    ．

12. 难度：中等

设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=    ．

13. 难度：中等

定义一个对应法则f：P（m，n）→p′（m，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A（-2，6）与点B（6，-2），点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M′经过的路线的长度为    ．

14. 难度：中等

已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b-a的最大值=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量，向量，函数•．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在上有解，求实数t的取值范围．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-A BCD中，底面ABCD为菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=，M是PC的中点．
（Ⅰ）证明PC⊥平面BMD；
（Ⅱ）若三棱锥M-BCD的体积为14，求菱形ABCD的边长．

17. 难度：中等

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米²），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y关于x的表达式；
（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

18. 难度：中等

如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△_PMN=，求直线AB的方程．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，n∈N⁺，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和S_n，且满足．
（Ⅰ）求{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
（1）求b₃；
（2）存在N（N∈N⁺），当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[]，求：
（1）函数h（x）在区间（一∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E．
求证：DE是圆O的切线．

22. 难度：中等

已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为（-3，4），求点A的坐标．

23. 难度：中等

已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．

24. 难度：中等

已知|x+1|+|x-l|＜4的解集为M，若a，b∈M，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

25. 难度：中等

某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：

类别	A类	B类	C类	D类
顾客数（人）	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

26. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+1nx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．