2012-2013学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，使得x²＞0”的否定是    ．

2. 难度：中等

抛物线x²=4y的准线方程为    ．

3. 难度：中等

若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为    ．

4. 难度：中等

若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为    ．

5. 难度：中等

已知双曲线的右焦点到右准线的距离等于焦距的，则离心率为    ．

6. 难度：中等

圆与圆的位置关系为    ．

7. 难度：中等

函数y=x-lnx的减区间为    ．

8. 难度：中等

过点P（0，1）向圆x²+y²-4x-6y+12=0引切线，则切线长为    ．

9. 难度：中等

圆心在x轴上，且与直线y=x切于（1，1）点的圆的方程为     ．

10. 难度：中等

已知l，m为两条不同直线，α，β为两个不同平面．给出下列命题：
①若l∥m，m⊂α，则l∥α；       
②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③若α⊥β，l⊥α且l⊄β，则l∥β； 
④若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m．
其中正确命题的序号为    （请写出所有你认为正确命题的序号）．

11. 难度：中等

在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在正三棱锥A-BCD中（如图所示），平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是    ．

12. 难度：中等

若直线y=x+b与函数的图有两个不同的交点，则b的取值范围为    ．

13. 难度：中等

设曲线y=（x-2）²（0＜x＜2）上动点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则△AOB面积的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|e^x-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

（1）若|x|＜1，|y|＜1，证明：
（2）某高级中学共有2013名学生，他们毕业于10所不同的初级中学，证明：该高级中学至少有202名学生毕业于同一所初级中学．

17. 难度：中等

棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O为面ABCD的中心．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面体OBC₁D₁的体积；
（3）线段AC上是否存在P点（不与A点重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如果函数f（x）在x=x处取得极值，则点（x，f（x））称为函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0，a，b，c，d∈R）的一个极值点恰为坐标系原点，且y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-1=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-2，2]上的值域．

19. 难度：中等

如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．
（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；
（2）当θ为何值时，征地面积最大？

20. 难度：中等

椭圆C₁的焦点在x轴上，中心是坐标原点O，且与椭圆的离心率相同，长轴长是C₂长轴长的一半．A（3，1）为C₂上一点，OA交C₁于P点，P关于x轴的对称点为Q点，过A作C₂的两条互相垂直的动弦AB，AC，分别交C₂于B，C两点，如图．

（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）求Q点坐标；
（3）求证：B，Q，C三点共线．