2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B=（ ）
A．{1，2}
B．{2，3，4}
C．{3，4}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

若复数Z₁=i，Z₂=3-i，则=（ ）
A．1+3i
B．2+i
C．-1-3i
D．3+i

3. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则=（ ）
A．（2，4）
B．（1，1）
C．（-1，-1）
D．（-2，-4）

4. 难度：中等

设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

5. 难度：中等

执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．60种
B．63种
C．65种
D．66种

7. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．4
C．2
D．

8. 难度：中等

在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，则a=    ；若点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为    ．

10. 难度：中等

如图，从圆O外一点2引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于    ．

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=，a₄=-4，则公比q=    ；|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于    ．

13. 难度：中等

以知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为    ．

14. 难度：中等

给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是；
②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A₁BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程，并证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（2）讨论函数y=f（x）零点的个数．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．

20. 难度：中等

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{c_n}的首项为2013，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8052，证明{c_n}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）