2012-2013学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题∀x∈R，x²-x+3＞0的否定是    ．

2. 难度：中等

直线x-y+3=0的倾斜角为    ．

3. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标为    ．

4. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是    ．

5. 难度：中等

已知球的半径为3，则该球的表面积为    ．

6. 难度：中等

若一个正三棱锥的高为5，底面边长为6，则这个正三棱锥的体积为    ．

7. 难度：中等

函数f（x）=x²在点（1，f（1））处的切线方程为    ．

8. 难度：中等

已知向量=（3，-2，z），=（1，y，-1），若∥，则yz的值等于    ．

9. 难度：中等

已知圆x²+y²=m与圆x²+y²+6x-8y-11=0相内切，则实数m的值为    ．

10. 难度：中等

已知命题p：x²-2x+1-m₂＜0；命题q：x²-x-6＜0，若p是q的充分不必要条件，则正实数m的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知两条直线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0都过点A（2，3），则过两点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直线方程为    ．

12. 难度：中等

已知F₁是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则PA+PF₁的最大值为    ．

13. 难度：中等

如图，已知AB=2c（常数c＞0），以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD，若椭圆以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，椭圆的离心率为    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

16. 难度：中等

已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0）、A（1，3）、B（4，0）
（1）求圆C的方程；
（2）求过点P（3，6）且被圆C截得弦长为4的直线的方程．

17. 难度：中等

已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=3，M，N分别是棱BB₁，BC上的点，且BM=2，BN=1，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）异面直线DM与AN所成角的余弦值；
（2）直线DM与平面AMN所成角的正弦值．

18. 难度：中等

现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00%，不考虑焊接处损失．
方案一：如图（1），从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图（2），若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼？．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的焦点为 F₁（-1，0），F₂（1，0），左、右顶点分别为A，B，离心率为，动点P到F₁，F₂的距离的平方和为6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若，，Q为椭圆上位于x轴上方的动点，直线DM•CN，BQ分别交直线m于点M，N．
（i）当直线AQ的斜率为时，求△AMN的面积；
（ii）求证：对任意的动点Q，DM•CN为定值．

20. 难度：中等

已知函数，f（x）=x³+bx²+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为2x-y-1=0．
（1）求实数c，d的值；
（2）若过点P（-1，-3）可作出曲线y=f（x）的三条不同的切线，求实数b的取值范围；
（3）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．