2012-2013学年广东省华附、省实、深中、广雅四校高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

2. 难度：中等

复数-i+=（ ）
A．-2i
B．i
C．0
D．2i

3. 难度：中等

在正项等比数列{a_n}中，a₁和a₁₉为方程x²-10x+16=0的两根，则a₈•a₁₀•a₁₂等于（ ）
A．16
B．32
C．64
D．256

4. 难度：中等

若平面α，β满足α⊥β，α∩β=l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为（ ）
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β

5. 难度：中等

观察（x²）′=2x，（x⁴）′=4x³，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（ ）
A．f（x）
B．-f（x）
C．g（x）
D．-g（x）

6. 难度：中等

给出下述四个命题中：
①三角形中至少有一个内角不小于60°；
②四面体的三组对棱都是异面直线；
③闭区间[a，b]上的单调函数f（x）至多有一个零点；
④当k＞0时，方程x²+ky²=1的曲线是椭圆．
其中正确的命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）=（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则f（x₁+x₂+x₂+x₄+x₅）等于 （ ）
A．0
B．21g2
C．31g2
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

从0，1，2，3，4这5个数字中，任取3个组成三位数，其中奇数的个数是    ．

10. 难度：中等

执行由图中的算法后，若输出的y值大于10，则输入x的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知₁、₂、₃为不共面向量，若=₁+₂+₃，=₁-₂+₃，=₁+₂-₃，=₁+2₂+3₃，且=x+y+z，则x、y、z分别为    ．

12. 难度：中等

函数y=（tanx-1）cos²x的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是    ．

14. 难度：中等

在极坐标中，圆ρ=4cosθ的圆心C到直线的距离为    ．

15. 难度：中等

如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式．

17. 难度：中等

已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为 a、b、c，向量 =（cos，sin），=（cos，-sin），且与的夹角为．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）已知c=3，△ABC的面积S=，求a+b的值．

18. 难度：中等

某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

	信息技术	生物	化学	物理	数学
周一
周三
周五

根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

20. 难度：中等

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F₁F₂为双曲线C的左，右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）求证：函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：ln2²+ln3²+ln4²+…+ln（n+1）²＞（n∈N₊）．