2012-2013学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果a＜b，则（ ）
A．a+b＞0
B．a-b＜0
C．ac＜bc
D．a²＜b²

2. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=d（其中d为常数），若a₁=1，a₃=11，则d=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

3. 难度：中等

下列四个点中，在不等式组 所表示的平面区域内的点是（ ）
A．（2，0）
B．（-2，0）
C．（0，2）
D．（0，-2）

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则（ ）
A．数列{a_n}是公差为4的等差数列
B．数列{a_n}是公差为2的等差数列
C．数列{a_n}是公比为4的等比数列
D．数列{a_n}是公比为2的等比数列

5. 难度：中等

“a²＞1”是“方程+y²=1表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知点A（4，y）为抛物线y²=8x上的一点，F为该抛物线的焦点，则|AF|=（ ）
A．4
B．6
C．
D．8

7. 难度：中等

已知点P为椭圆C：上动点，F₁，F₂分别是椭圆C的焦点，则|PF₁|．|PF₂|的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4

8. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF₁的垂直平分线过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．（，）
C．[，1）
D．[，）

二、填空题

9. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

10. 难度：中等

命题p：∀a，b∈R，a²+b²≥2ab，则命题￢p是    ．

11. 难度：中等

满足不等式x²+2x＞0的x的取值范围为    ．

12. 难度：中等

已知F₁，F₂分别为椭圆C：（b＞0）的左、右焦点，A为椭圆C的短轴的一个端点，若△AF₁F₂为正三角形，则b=    ．

13. 难度：中等

设x∈R，x≠0．给出下面4个式子：①x²+1；②x²-2x+2；③x+；④x²+．其中恒大于1的是    ．（写出所有满足条件的式子的序号）

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+1=且a₁=1，则a₃-a₁=    ；若设b_n=a_2n+2-a_2n，则数列{b_n}的通项公式为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知A（2，0），B（0，1）为椭圆C：=1（a＞b＞0）上的两点，P（x，y）为椭圆C上的动点，O为坐标原点．
（ I）求椭圆C的方程；
（ II）将|OP|表示为x的函数，并求|OP|的取值范围．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求S_n的最大值；
（III）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-2a）（x-a-1）．
（I）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（II）若∀x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），离心率为．直线y=k（x+1）与椭圆C交于不同的两点P，Q．
（ I）求椭圆C的方程；
（ II）若OP⊥OQ（其中O为原点），求k的值．