2012-2013学年广东省深圳市宝安区高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式x＜x²的解集是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．[1，+∞）
D．[0，1]

2. 难度：中等

sin15°•cos15°=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-2

3. 难度：中等

下面四个说法中，正确的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知函数，则使得f（x）=1成立的所有x的值为           （ ）
A．±2
B．0，2
C．0，-2
D．0，±2

5. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a²+c²-ac=b²，则角B的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

等差数列{a_n}中，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，若S₉=72，则a₂+a₄+a₉=（ ）
A．14
B．12
C．24
D．16

7. 难度：中等

若实数a，b满足a+b=2，则3^a+3^b的最小值是（ ）
A．6
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，下列条件中哪个是α∥β的充分不必要条件（ ）
A．α∩γ=n，β∩γ=m，n∥m
B．α⊥γ，β⊥γ
C．n∥m，n⊥α，m⊥β
D．n∥α，m∥β，n∥m

9. 难度：中等

圆C与圆（x+2）²+（y-1）²=1关于直线y=x+2对称，则圆C的方程是（ ）
A．（x+1）²+y²=1
B．（x-1）²+y²=1
C．（x+1）²+y²=2
D．（x+3）²+y²=1

10. 难度：中等

若实数x，y满足x²+y²+xy=1，则x+y的最大值是 （ ）
A．
B．-
C．
D．-

二、填空题

11. 难度：中等

已知一组命题：p：3＞4，q：3＜4，利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题    （填“真”或者“假”）

12. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=1且（n∈N），a_n=    ．

13. 难度：中等

若关于x的不等式mx²-mx+m-1＞0的解集为∅，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m²，可以获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100m²，可以获利润200万元．现单位可以使用资金1400万元，场地900m²，请你用你所掌握的数学知识进行投资组合，使得单位获得最大利润，可能获得的最大利润为    万元．

三、解答题

15. 难度：中等

已知椭圆C的方程为．
（1）求k的取值范围；         
（2）若椭圆C的离心率，求k的值．

16. 难度：中等

如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为 （，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（1）求向量的坐标
（2）求向量的夹角的大小．

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=，求的值．

18. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=r²（r＞0）都过点P（-1，0），且椭圆C₁离心率为，过点P作斜率为k₁，k₂的直线分别交椭圆C₁、圆C₂于点A、B、C、D（如图），k₁=2k₂．
（1）求椭圆C₁和圆C₂的方程；
（2）求证：直线BC恒过定点．

19. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a_n，a_n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根．
（1）试写出y=f₁（x），并求出a₂；
（2）求a_n+1-a_n，并求出{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n．

20. 难度：中等

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，求•的最小值．