2012-2013学年北京市海淀区进修学校高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等差数列3，7，11 …中，第5项为（ ）
A．15
B．18
C．19
D．23

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₂=2，a₄=8，那么它的公差是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

3. 难度：中等

△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=4，∠C=60°，则c的值等于（ ）
A．5
B．13
C．
D．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃•a₉=2a₅²，a₂=1，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊），那么a₄的值为（ ）
A．4
B．8
C．15
D．31

6. 难度：中等

在△ABC中，若==，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

7. 难度：中等

如果a＜b＜0，那么（ ）
A．a-b＞0
B．ac＜bc
C．
D．a²＜b²

8. 难度：中等

我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的过程．令a=2，b=4，若c∈（0，1），则输出区间的形式为（ ）
A．M
B．N
C．P
D．∅

二、填空题

9. 难度：中等

4和16的等比中项是    ．

10. 难度：中等

在两个数2和7之间插入6个数，使这8个数成等差数列，则插入的这6个数的和是    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=x（1-2x）（0＜x＜）的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知不等式x²+mx+n＜0的解集是{x|-1＜x＜6}，则mx+n＞0的解集是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc，则角A的大小为     ．

14. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m=2k，k∈N^*）满足条件a₁=-a_m，a₂=-a_m-1，…，a_m=-a₁即a_i=-a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“反对称数列”．
（1）请在下列横线上填入适当的数，使这6个数构成“反对称数列”：-8，    ，-2，    ，4，    ；
（2）设{c_n}是项数为30的“反对称数列”，其中c₁₆，c₁₇，c₁₈，…，c₃₀构成首项为-1，公比为2的等比数列．设T_n是数列{nc_n}的前n项和，则T₁₅=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

17. 难度：中等

你作为工厂的一名设计师，准备为工厂修建一个如图所示的长方体形无盖蓄水池，其容积为40立方米，深度为2米．池底每平方米的造价为15元，池壁每平方米的造价为10元．工厂审计部门要你根据工程设计申请经费，你如何设计这个水池才能使得申请经费最低？（经费单位：元，结果取整数，可能用到的数据：，）

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和
（1）这个数列是等差数列吗？若是请证明并求它的通项公式，若不是，请说明理由；
（2）求使得S_n取最小的序号n的值．

19. 难度：中等

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N⁺），且a₃+a₅=14，a₄+a₆=18
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_n（）ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，都有，求实数t的取值范围．