1. 难度:中等 | |
直线y=a与函数y=x3-3x的图象有相异三个交点,则a的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-2,0) C.(0,2) D.(2,+∞) |
2. 难度:中等 | |
函数f(x)=x3+ax2-3x-9,已知f(x)的两个极值点为x1,x2,则x1•x2=( ) A.9 B.-9 C.1 D.-1 |
3. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率为3,数列{}的前n项为Sn则S2011的值为( ) A. B. C. D. |
4. 难度:中等 | |
已知f(x)为定义在(-∞,+∞)上的可导函数,且f(x)<f′(x)对于x∈R恒成立,则( ) A.f(2)>e2f(0),f(2010)>e2010f(0) B.f(2)<e2f(0),f(2010)>e2010f(0) C.f(2)>e2f(0),f(2010)<e2010f(0) D.f(2)<e2f(0),f(2010)<e2010f(0) |
5. 难度:中等 | |
已知二次函数在x=2处的切线斜率为2,则该函数的最大值为 . |
6. 难度:中等 | |
已知点P在曲线上移动,若经过点P的曲线的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 . |
7. 难度:中等 | |
某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个圆柱和一个半球组成,要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2,工艺品的体积为34πcm3.设圆柱的底面直径为4x(cm),工艺品的表面积为S(cm2). (1)试写出S关于x的函数关系式; (2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小? |
8. 难度:中等 | |
设函数是单调减函数,值域为[1+loga(n-1),1+loga(m-1)]. (1)求实数a的取值范围; (2)求证:2<m<4<n; (3)若函数的最大值为A,求证:0<A<1. |
9. 难度:中等 | |
已知a∈R,函数,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值; (2)是否存在实数x∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. |
10. 难度:中等 | |
求f(x)=x3-15x2-33x+6的单调区间. |
11. 难度:中等 | |
设函数,其中a为常数. (1)证明:对任意a∈R,y=f(x)的图象恒过定点; (2)当a=-1时,判断函数y=f(x)是否存在极值?若存在,求出极值;若不存在,说明理由; (3)若对任意a∈(0,m]时,y=f(x)恒为定义域上的增函数,求m的最大值. |
12. 难度:中等 | |
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米. (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? |
13. 难度:中等 | |
已知函数 (1)试判断函数f(x)的单调性; (2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值; (3)试证明:对∀n∈N*,不等式. |
14. 难度:中等 | |
某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a元(1≤a≤3)的管理费,预计当每件商品的售价为x元(8≤x≤9)时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x); (2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值M(a). |
15. 难度:中等 | |
设a>0,函数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当x=3时,函数 f(x)取得极值,证明:当. |
16. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=ex-k-x,(x∈R). (1)当k=0时,若函数的定义域是R,求实数m的取值范围; (2)试判断当k>1时,函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点. |
17. 难度:中等 | |
已知曲线C1:(e为自然对数的底数),曲线C2:y=2elnx和直线l:y=2x. (1)求证:直线l与曲线C1,C2都相切,且切于同一点; (2)设直线x=t(t>0)与曲线C1,C2及直线l分别相交于M,N,P,记f(t)=|PM|-|NP|,求f(t)在[e-3,e3]上的最大值; (3)设直线x=em(m=0,1,2,3┅┅)与曲线C1和C2的交点分别为Am和Bm,问是否存在正整数n,使得AB=AnBn?若存在,求出n;若不存在,请说明理由. (本小题参考数据e≈2.7). |
18. 难度:中等 | |
已知函数f(x)满足(其中为f(x)在点处的导数,C为常数). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根,求常数C. |
19. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x. (I)证明函数f(x)在区间(0,1)上单调递减; (II)若不等式≤e2对任意的n∈N*都成立,(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值. |
20. 难度:中等 | |
已知f(x)=lnx,(a∈R). (1)求f(x)-g(x)的单调区间; (2)若x≥1时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (3)当n∈N*,n≥2时,证明:. |
21. 难度:中等 | |
已知函数. (1)如果a>0,函数在区间上存在极值,求实数a的取值范围; (2)当x≥1时,不等式恒成立,求实数k的取值范围. |
22. 难度:中等 | |
设函数在[1,+∞)上是增函数. (1)求正实数a的取值范围; (2)设b>0,a>1,求证:. |
23. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=x2+lnx (1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值,最小值; (2)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3图象的下方. |
24. 难度:中等 | |
已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2 (I)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (Ⅲ)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围. |
25. 难度:中等 | |
三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,直线BD∥AC,且直线BD与函数图象切于点B,交于点D,直线AC与函数图象切于点C,交于点A. (1)在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间; (2)设点A、B、C、D的横坐标分别为xA,xB,xC,xD,求证:(xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)=1:2:1. |