2012-2013学年江苏省盐城市东台市唐洋中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=xe^x+1在点（0，1）处的切线方程为    ．

2. 难度：中等

观察下列等式：，，，…，照此规律，计算1×2+2×3+…+n（n+1）=    （n∈N^*）．

3. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i，则复数在复平面内对应的点位于第    象限．

4. 难度：中等

若f（x）=-+blnx在（1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是    ．

5. 难度：中等

设，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为     ．

6. 难度：中等

若{b_n}是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若{a_n}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=+a²x²+ax+b（a＞0），当x=-1时函数f（x）的极值为，则f（2）=    ．

8. 难度：中等

已知，是z的共轭复数，则=    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
④函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．

x	-1		2	4	5
f（x）	1	2	1	2	1

其中正确命题的序号是    ．

10. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是    ．

11. 难度：中等

对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2²=1+33²=1+3+54²=1+3+5+72³=3+53³=7+9+114³=13+15+17+19．根据上述分解规律，则5²=1+3+5+7+9，若m³（m∈N^*）的分解中最小的数是73，则m的值为    ．

12. 难度：中等

已知复数z₁=-1+2i，z₂=1-i，z₃=3-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若，则λ+μ的值是    ．

13. 难度：中等

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=    ；f（n）=    ．

14. 难度：中等

设a＞0，函数，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．

16. 难度：中等

已知复数z=（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数．
（1）求m的值；
（2）若复数w，满足|w-z|=1，求|w|的最大值．

17. 难度：中等

设f（n）=1+++…+（n∈N^*）．
求证：f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）．

18. 难度：中等

观察数表

求：（1）这个表的第i行里的最后一个数字是多少？
（2）第i行各数字之和是多少？

19. 难度：中等

已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T作用下得到点P′（3，3），求A⁴．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=且关于x的方程f（x）=-+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*．求证：a_n≤2ⁿ-1．