2012-2013学年山东省实验中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

直线y=k（x+1）与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．与k的取值有关

4. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的图象如图，则f（x）的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为（ ）
A．18π
B．36π
C．72π
D．9π

6. 难度：中等

设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对（a，b）共有（ ）
A．2个
B．3个
C．5个
D．无数个

8. 难度：中等

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是（ ）
A．3948
B．3953
C．3955
D．3958

9. 难度：中等

已知奇函数f（x）的定义域为R，且是以2为周期的周期函数，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

10. 难度：中等

如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，那么实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a≤0}
B．{a|a≤0或a=2}
C．{a|a≥0}
D．{a|a≥0或a=-2}

二、填空题

11. 难度：中等

若椭圆的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为     ．

12. 难度：中等

双曲线 -=1的左右焦点分别为F₁﹑F₂，在双曲线上存在点P，满足|PF₁|=5|PF₂|．则此双曲线的离心率e的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知A（3，），O为原点，点P（x，y）的坐标满足，则取最大值时点P的坐标是    ．

14. 难度：中等

某种股票今天的股价是2元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100天以后这种基金的股价约是    元/股（精确到0.01）．

15. 难度：中等

设函数f（x），g（x）的定义域分别为D_J，D_E．且D_J⊊D_E，若对于任意x∈D_J，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_E上的一个延拓函数．设f（x）=xlnx（x＞0），g（x）为f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）=    ；设f（x）=2^x-1（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的．
（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；
（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率．

17. 难度：中等

已知角α、β满足：5sinα+5cosα=8，且α∈（0，），β∈（，），求cos（α+β）的值．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（1）求证：D点为棱BB₁的中点；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求的值．

19. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

设正项数列{a_n}的前项和为S_n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
（1）求证数列{a_n}是等比数列； 
（2）若正整数n，m，k成等差数列，求证：+≥．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K_ON；
（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式：=cosθ+sinθ成立．