2012-2013学年陕西省汉中市勉县一中高二（上）期末数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知数列1，，，…，，…，则是这个数列的（ ）
A．第10项
B．第11项
C．第12项
D．第21项

2. 难度：中等

设a＞b，c＞d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a-c＞b-d
B．ac＞bd
C．
D．b+d＜a+c

3. 难度：中等

设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA=，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形

4. 难度：中等

在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．
B．y=3^x+3^-x
C．
D．

5. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂+a₆+a₁₀为一个确定的常数，则下列各数中可以用这个常数表示的是（ ）
A．S₁₀
B．S₁₁
C．S₁₂
D．S₁₃

6. 难度：中等

椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F₁，F₂的连线互相垂直，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．20
B．22
C．24
D．28

7. 难度：中等

（理）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁ 的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（ ）

A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜2
B．k＞3
C．2＜k＜3
D．k＜2或k＞3

9. 难度：中等

“b²=ac”是“a，b，c成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

（理） 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以，，为基底表示，其结果是（ ）
A．=++
B．=
C．=-2+
D．=

11. 难度：中等

（文）椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．不确定

12. 难度：中等

（理）在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，BC=2，AA₁=3，则点B到直线A₁C的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1

13. 难度：中等

过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（ ）
A．2a
B．
C．4a
D．

二、填空题

14. 难度：中等

命题“存在实数x，使x²+2x+2≤0”的否定是    ．

15. 难度：中等

OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长为    ．

16. 难度：中等

抛物线x²=ay的准线方程是y=2，则a=    ．

17. 难度：中等

不等式的解集是    ．

18. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x-y的最大值为    ．

19. 难度：中等

在△ABC中，AB=-，C=30°，则AC+BC的最大值是    ．

20. 难度：中等

直线y=x被曲线2x²+y²=2截得的弦长为    ．

三、解答题

21. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n； 
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

22. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．   
（1）求b的值；    
（2）求sinC的值．

23. 难度：中等

已知a∈R，解关于x的不等式：．

24. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

25. 难度：中等

（理）如图，单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是棱C₁D₁和B₁C₁的中点，试求：
（Ⅰ）AF与平面BEB₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）点A到面BEB₁的距离．

26. 难度：中等

椭圆过点（3，0），离心率e=，求椭圆的标准方程．

27. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）问：数列是否为等差数列？并证明你的结论；
（Ⅱ）求S_n和a_n．

28. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}中，a₁=2  a_n=3a_n-1+4（n≥2），求a_n及S_n．

29. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．

30. 难度：中等

（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂与y₁y₂的值；
（2）求证：OA⊥OB．