2012-2013学年江苏省盐城市龙冈中学高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=sinxcosx+的最小正周期为    ．

2. 难度：中等

一直线倾斜角的正切值为，且过点P（1，2），则直线方程为    ．

3. 难度：中等

函数y=2cos²x+sin2x的最小值是    ．

4. 难度：中等

正方体的全面积是24cm²，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是    cm²．

5. 难度：中等

已知直线y=（3a-1）x-1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱柱的体积为    ．

7. 难度：中等

已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；
④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

8. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为    ．

9. 难度：中等

一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为     ．

10. 难度：中等

△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a²=b²+c²+bc，且sinB+sinC=1，则角B=    ．

12. 难度：中等

如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行    海里？

13. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a²=b²+bc，sin C=2sin B，则A=    ．

14. 难度：中等

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AA₁、D₁C₁上的动点，点G为正方形B₁BCC₁的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知直线l过点A（-2，3）
（1）直线l的倾斜角为135°，求直线l的方程；
（2）直线l在两坐标轴上的截距之和为2，求直线l的方程．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：
（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos．
（1）设x∈，且f（x）=+1，求x的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=+1，且△ABC的面积为，求a+b的值．

18. 难度：中等

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若y=cos²A+cos²C，求y的最小值．

19. 难度：中等

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

20. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）．将△ABD沿着AD折起到△AB'D的位置，连接B'C（如图2）．

（1）若平面AB'D⊥平面AD C，求三棱锥B'-AD C的体积；
（2）记线段B'C的中点为H，平面B'ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；
（3）求证：AD⊥B'E．