2012-2013学年浙江省宁波市海曙区效实中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知直线l₁：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l₂：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则K得值是（ ）
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2

2. 难度：中等

圆C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，圆C₂：（x-2）²+（y-5）²=9，则这两圆公切线的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程为y=-1，则实数a=（ ）
A．4
B．
C．2
D．

4. 难度：中等

若A为不等式组表示的平面区域，当a从-1连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知点A（1，5），B（-2，10），直线l：y=x+1，在直线l上找一点P使得|PA|+|PB|最小，则这个最小值为（ ）
A．
B．8
C．9
D．10

6. 难度：中等

以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．4x-3y-3=0
B．x-4y+3=0
C．4x+y-5=0
D．x+4y-5=0

7. 难度：中等

如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知，则z=|2x+y+5|的最大值与最小值的差为（ ）
A．8
B．2
C．10
D．5

9. 难度：中等

若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x）²+y²=1有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（1，]
B．[）
C．[）
D．[）

10. 难度：中等

如图，面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|=2，∠CDB=60°，P为α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为（ ）

A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

二、填空题

11. 难度：中等

以椭圆的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是    ．

12. 难度：中等

已知曲线C：x²+y²=m恰有三个点到直线12x+5y+26=0距离为1，则m=    ．

13. 难度：中等

已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且•=•，则动点P的轨迹C的方程是    ．

14. 难度：中等

已知直线l：3x+4y+m=0平分圆x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0的面积，且直线l与圆x²+y²-2x-4y+5-n=0相切，则m+n=    ．

15. 难度：中等

设椭圆=1和双曲线=1的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则∠F₁PF₂=    ．

16. 难度：中等

设实数x，y满足不等式，若ax+y的最大值为1，则直线ax+y+1=0的倾斜角的取值范围是    ．

17. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M₁，则的最大值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知圆C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）截直线x+y-5=0的弦长为5；
（1）求a的值；
（2）求过点P（10，15）的圆的切线所在的直线方程．

19. 难度：中等

已知双曲线C：x²-，P为C上任意一点；
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A（4，0），求|PA|的最小值．

20. 难度：中等

已知B（-1，1）是椭圆（a＞b＞0）上一点，且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4；
（1）求椭圆方程；
（2）设A为椭圆的左顶点，直线AB交y轴于点C，过C作斜率为k的直线l交椭圆于D，E两点，若，求实数k的值．

21. 难度：中等

已知抛物线C₁：y=x²，F为抛物线的焦点，椭圆C₂：（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF|=，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C₁交于A，B两个不同的点，l与椭圆C₂交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，过点A（x，0）（其中x为常数，且x＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；
（1）设点Q关于x轴的对称点为D，直线DP交x轴于点B，求证：B为定点；
（2）若x=1，M₁，M₂，M₃为抛物线C上的三点，且△M₁M₂M₃的重心为A，求线段M₂M₃所在直线的斜率的取值范围．