2012-2013学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，哪句可作为命题（ ）
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思

2. 难度：中等

若命题p：∀x∈R，2x²-1＞0，则该命题的否定是（ ）
A．∀x∈R，2x²-1＜0
B．∀x∈R，2x²-1≤0
C．∃x∈R，2x²-1≤0
D．∃x∈R，2x²-1＞0

3. 难度：中等

在一个盒子里有10个大小一样的球，其中5个红球，5个白球，则第1个人摸出一个红球，紧接着第2个人摸出一个白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

等轴双曲线的离心率e的值是（ ）
A．2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为4x±3y=0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的左支交于不同的两点，那么k的取值范围是（ ）
A．（）
B．（-1，1）
C．（）
D．（）

7. 难度：中等

抛物线y=2x²上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，且x₁•x₂=-，则m等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3

8. 难度：中等

过双曲线的右焦点作直线与双曲线交A、B于两点，若|AB|=16，这样的直线有（ ）
A．一条
B．两条
C．三条
D．四条

9. 难度：中等

已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

10. 难度：中等

定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长l取值范围是（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（2，4）

二、填空题

11. 难度：中等

设随机变量X服从正态分布N（0，1），已知P（X＜-2）=0.025，则P（|X|＜2）=    ．

12. 难度：中等

设随机变量ξ～B（2，P），若，则p=    ．

13. 难度：中等

与双曲线x²-4y²=4有共同的渐近线，并且经过点（2，）的双曲线方程是    ．

14. 难度：中等

已知椭圆C₁的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C₂的顶点在原点、焦点在x轴上．小明从曲线C₁，C₂上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，y）．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C₁上，也不在抛物线C₂上．小明的记录如下：

x	-2			2		3
y	2

据此，可推断椭圆C₁的方程为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上异于顶点的任一点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，下面八个命题：
①△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=b上；    
②△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线x=a上；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心在直线OP上；     
④△PF₁F₂的内切圆必通过点（a，0）；
⑤|OB|=e|OA|；        
⑥|OB|=|OA|；        
⑦|OA|=e|OB|；        
⑧|OA|与|OB|关系不确定．
其中正确的命题的代号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

18. 难度：中等

若一个椭圆与双曲线焦点相同，且过点（，1）．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．

19. 难度：中等

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

20. 难度：中等

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．证明：为定值．

21. 难度：中等

如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．