《2.1 椭圆》2013年同步练习（青州二中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

2. 难度：中等

椭圆过，则其焦距为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4

3. 难度：中等

椭圆kx²+（k+2）y²=k的焦点在y轴上，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-2
B．k＜-2
C．k＞0
D．k＜0

4. 难度：中等

”m＞n＞0”是”方程mx²+ny²=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的短轴的长为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4

6. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或7

11. 难度：中等

长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，=2，则点C的轨迹是（ ）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．双曲线

12. 难度：中等

如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a₁和a₂，半焦距分别为c₁和c₂，椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是（ ）
A．a₁-c₁=a₂-c₂
B．a₁+c₁＞a₂+c₂
C．a₁c₂＞a₂c₁
D．a₁c₂＜a₂c₁

二、填空题

13. 难度：中等

如果x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是     ．

14. 难度：中等

与椭圆9x²+4y²=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是    ．

15. 难度：中等

已知，则当m•n取得最小值时，椭圆的离心率为    ．

16. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线和椭圆有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知P为椭圆上任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，求：
（1）|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）的最小值．

18. 难度：中等

已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点
（1）求AB的中点坐标；
（2）求△ABF₂的周长与面积．

19. 难度：中等

已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值．
（1）试求动点P的轨迹方程C；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M．N两点，当时，求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．

21. 难度：中等

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且（0，）是椭圆M的一个焦点，又点A（1，）在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率是，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

22. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．