《第1章 空间几何体》2013年单元测试卷（6）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（ ）
A．球
B．圆柱
C．圆锥
D．三棱锥

2. 难度：中等

设长方体的对角线的长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是（ ）
A．
B．
C．8
D．

3. 难度：中等

如图，BCDE是一个正方体，AB⊥平面BCDE，则图中互相垂直的平面共有（ ）

A．4组
B．5组
C．6组
D．7组

4. 难度：中等

棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S₁、S₂、S₃，则（ ）
A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₃＜S₂＜S₁
C．S₂＜S₁＜S₃
D．S₁＜S₃＜S₂

5. 难度：中等

正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若一个棱锥的每条侧棱在底面上的射影相等，每个侧面与底面所成的角也相等，则此棱锥为（ ）
A．正四面体
B．正棱锥
C．不是正棱锥
D．不一定正棱锥

7. 难度：中等

正方体的对角线长为3cm，则它的体积为（ ）
A．4cm³
B．8cm³
C．cm³
D．3cm³

8. 难度：中等

已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°

9. 难度：中等

若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ）
A．1：16
B．3：27
C．13：129
D．39：129

10. 难度：中等

一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3：2．则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ）
A．1：1
B．1：
C．
D．3：2

11. 难度：中等

正方体的全面积为18cm²，则它的体积是（ ）
A．4cm³
B．8cm³
C．cm³
D．3cm³

12. 难度：中等

一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上第面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为（ ）
A．30cm
B．40cm
C．50cm
D．60cm

13. 难度：中等

以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

若球的半径是cm，则球的内接正方体的体积是（ ）
A．8cm³
B．8cm³
C．24cm³
D．46cm³

15. 难度：中等

若正方体的棱长为1，则它的外接圆球的体积为（ ）
A．cm³
B．cm³
C．2cm³
D．3cm³

16. 难度：中等

一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1：2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（ ）
A．1：4
B．1：2
C．1：（）
D．1：（）

17. 难度：中等

过正四面体一边及对边中点的截面把四面体分成两部分的体积之比为（ ）
A．1：2
B．1：1
C．1：4
D．2：3

18. 难度：中等

长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是（ ）
A．6
B．3
C．11
D．12

19. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以D₁、B₁、C、A为顶点的四面体与正方体的体积之比为（ ）
A．
B．3：1
C．1：3
D．1：

20. 难度：中等

若一个圆柱及一个圆锥的底面直径、高都与球的直径相等，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（ ）
A．3：2：1
B．2：3：1
C．3：1：2
D．不能确定

二、填空题

21. 难度：中等

如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为    ．

22. 难度：中等

平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线    ，中心投影的投影线    ．

23. 难度：中等

将一个棱长为1的正方体木块锯成最大的一个正四面体木块，则正四面体木块的体积为    ．

24. 难度：中等

若一个轴截面是正方形的圆柱的侧面积和一个球的表面积相等，则他们的体积之比为    ．

25. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中截去一角B₁-A₁BC₁，则它的体积是长方体体积的     ．

26. 难度：中等

一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为    ．

27. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB₁C₁F将三棱柱分成体积为V₁、V₂的两部分，那么V₁：V₂=    ．

28. 难度：中等

球与它的外切圆柱及外切等边圆锥的体积之比为    ．

三、解答题

29. 难度：中等

正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为Q，求它的侧面积．

30. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

31. 难度：中等

如图是各棱长均为a的斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠A₁AC=∠A₁AB=60°．求证：三棱锥A₁-ABC是正四面体．

32. 难度：中等

已知一个半径为R的球有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上），求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比．

33. 难度：中等

如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来的．
（1）∠DC₁D₁在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45，对吗？
（2）∠A₁C₁D的真实度数是60，对吗？
（3）设BC=1m，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

34. 难度：中等

有三个球，一球切于正方体的各面，一球切于正方体的各棱，一球过于正方体的各顶点，求这三个球的体积之比．

35. 难度：中等

已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．