2012-2013学年福建师大附中高一（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若sin2a＞0且sina＜0，则a是（ ）
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第一或第三象限角
D．第二或第三象限角

2. 难度：中等

sin15°cos75°+cos15°sin75°等于（ ）
A．0
B．
C．
D．1

3. 难度：中等

如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（ ）

A．+
B．+
C．+
D．+

4. 难度：中等

=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．2
D．10

5. 难度：中等

已知角α的终边过与单位圆交于点P（，-），则•等于何值（ ）
A．
B．
C．
D．-

6. 难度：中等

tan20°+tan40°+tan20°•tan40°的值是（ ）
A．
B．-
C．
D．-

7. 难度：中等

设和为不共线的向量，若2-3与k+6（k∈R）共线，则k的值为（ ）
A．k=4
B．k=-4
C．k=-9
D．k=9

8. 难度：中等

在△ABC中，若|+|=||，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．不能确定

9. 难度：中等

同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，ABCD是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且∠EAB=α，∠CAB=β，则α+β的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知，是两个单位向量，且． 若点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，（m，n∈R），则=（ ）
A．
B．3
C．
D．

12. 难度：中等

若对任意实数a，函数（k∈N）在区间[a，a+3]上的值出现不少于4次且不多于8次，则k的值为（ ）
A．2
B．4
C．3或4
D．2或3

二、填空题

13. 难度：中等

已知单位向量，的夹角为，那么|-|=    ．

14. 难度：中等

则cosα-sinα=    ．

15. 难度：中等

已知α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=，则sinβ的值等于    ．

16. 难度：中等

已知sin（-α）=，则=    ．

17. 难度：中等

设max{sinx，cosx}表示sinx与cosx中的较大者．若函数f（x）=max{sinx，cosx}，给出下列五个结论：
①当且仅当x=2kπ+π（π∈Z）时，f（x）取得最小值；
②f（x）是周期函数；
③f（x）的值域是[-1，1]；
④当且仅当＜x＜2kx+（k∈Z）时，f（x）＜0；
⑤f（x）以直线x=kx+（k∈Z）为对称轴．
其中正确结论的序号为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量=（2，0），=（1，4）．
（Ⅰ）求|+|的值；
（Ⅱ）若向量k与+2平行，求k的值；
（Ⅲ）若向量k+与+2的夹角为锐角，求k的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+）．
（Ⅰ）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象，并求函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ） 若函数f（x）≥，写出满足条件的x的取值集合．

20. 难度：中等

已知向量=（sinA，cosA），=（，-1），（-）⊥，且A为锐角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

21. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

22. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=α，△EFC的面积为S．
（Ⅰ）求S与α之间的函数关系；
（Ⅱ）当角α取何值时S最大？并求S的最大值．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）的图象与x轴交点为（-，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，]上至多有一个解，求正数k的取值范围．