2012-2013学年甘肃省庆阳市华池一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=在复平面上对应的点位于第（ ）象限．
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

在（，-2）处的切线方程是（ ）
A．y=4
B．y=4x-4
C．y=4x+4
D．y=2x-4

3. 难度：中等

函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件是（ ）
A．a＞0
B．a≥0
C．a＜0
D．a≤0

4. 难度：中等

“三角函数是周期函数，y=tanx，是三角函数，所以y=tanx，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ）
A．推理完全正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．推理形式不正确

5. 难度：中等

（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3

6. 难度：中等

设函数在（-∞，+∞）上单调递增，则（ ）
A．a≤0且c=0
B．a＞0且c是任意实数
C．a≤0且c是任意实数
D．a≤0且c≠0

7. 难度：中等

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

8. 难度：中等

曲线与x轴以及直线所围图形的面积为（ ）
A．4
B．2
C．
D．3

9. 难度：中等

平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若方程x³-3x+m=0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[0，2]
C．[-2，0]
D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

11. 难度：中等

复平面内点A，B，C对应的复数分别为 i，1，4+2 i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BD|等于（ ）
A．5
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（ ）
A．（
B．
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

已知f（n）=1+，经计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，推测当n≥2时，有f（2ⁿ）＞    ．

14. 难度：中等

设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a=    ．

15. 难度：中等

已知f（x）=x³+3x²+a（a为常数），在[-3，3]上有最小值3，那么在[-3，3]上f（x）的最大值是    ．

16. 难度：中等

设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．
其中真命题是    ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

把复数z的共轭复数记作，已知，求z及．

18. 难度：中等

在圆x²+y²=r²（r＞0）中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k_AC•k_BC=-1．你能用类比的方法得出椭圆=1（a＞b＞0）中有什么样的结论？并加以证明．

19. 难度：中等

已知n∈N^*，且n≥2，求证：＞．

20. 难度：中等

求抛物线y²=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方．