2012-2013学年四川省广安市高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数在复平面内所表示的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

曲线y=-x³+2x+3在点（1，4）处的切线的斜率为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

3. 难度：中等

在曲线y=x²上切线倾斜角为的点是（ ）
A．（0，0）
B．（2，4）
C．（，）
D．（，）

4. 难度：中等

设复数z的共轭复数，若，则|z|=（ ）
A．5
B．25
C．625
D．不确定

5. 难度：中等

观察：3²-1=8，5²-1=24，7²-1=48，9²-1=80，…，则第n个等式（2n+1）²-1²=（ ）
A．4n（n-1）
B．（2n-1）²-1
C．4n（n+1）
D．2n（n+1）

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

函数y=xlnx在区间（0，1）上是（ ）
A．单调增函数
B．在（0，）上是减函数，在（，1）是增函数
C．单调减函数
D．在（0，）上是增函数，在（，1）上是减函数

8. 难度：中等

观察下列图形（1）（2）（3）（4），这些图形都由小正方形构成，设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（5）=（ ）

A．25
B．37
C．41
D．47

9. 难度：中等

已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足f（x）=3x²+2xf'（1），则f'（3）=（ ）
A．9
B．6
C．-6
D．20

10. 难度：中等

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式的解集是（ ）
A．（-3，0）∪（3，+∞）
B．（-3，0）∪（0，3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

二、填空题

11. 难度：中等

已知m∈R，且m-1+2mi=1+4i，则实数m=    ．

12. 难度：中等

在曲线y=x²+2的图象上取一点（1，3）及附近一点（1+△x，3+△y），则=    ．

13. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出S的值是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S₁，外接圆面积为S₂，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P-ABC的内切球体积为V₁，外接球体积为V₂，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x
（Ⅰ）求f′（1）；
（Ⅱ）求f（x）的极大值．

17. 难度：中等

复数z=（1-i）a²-3a+2+i，（a∈R），
（1）若z为纯虚数，求z；
（2）若复平面内复数z对应的点在第三象限，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，3），曲线在点A处的切线恰好与直线x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，求m的取值范围．

19. 难度：中等

用反证法证明：如果，那么x²+2x-1≠0．

20. 难度：中等

已知f（x）=ax³-bx²+cx在区间[0，1]上是减函数，在区间（-∞，0]，[1，+∞）上是增函数，又f′（2）=12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[0，m]．（m＞0）上恒有f（x）≤5x成立，求m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在负实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．