2010-2011学年北京市西城区（北区）高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

3. 难度：中等

已知函数y=10^x的反函数为y=f（x），那么=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅＞0，那么下列结论中一定正确的是（ ）
A．a₃＜0
B．S₃＜0
C．a₃＞0
D．S₃＞0

5. 难度：中等

设c∈R，函数f（x）=x²-2x+c．关于函数f（x）的下述四个命题中，真命题为（ ）
A．f（0）＞f（2）
B．f（0）＜f（2）
C．f（x）≥c-1
D．f（x）≤c-1

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=，n=1，2，3，…，那么a_n=（ ）
A．3ⁿ-3
B．2•3ⁿ
C．2•3^n-1
D．3ⁿ⁺¹-3

7. 难度：中等

函数f（x）=-x的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设集合A⊆R，如果实数x满足：对∀r＞0，总∃x∈A，使得0＜|x-x|＜r，则称x为集合A的聚点．给定下列四个集合：
①Z；  
②{x∈R|x≠0}；   
③{|n∈Z，n≥0}；   
④{|n∈Z，n≠0}．
上述四个集合中，以0为聚点的集合是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数那么f（-1）+f（1）=    ．

10. 难度：中等

幂函数f（x）=x^α的图象经过点（2，），则α=    ．

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差是2，其前4项和是-20，则a₂=    ．

12. 难度：中等

已知f（x）是周期为2的偶函数．当0≤x≤1时，f（x）的图象是如图中的线段AB，那么=    ．

13. 难度：中等

当x∈[-1，1]时，函数的值域是    ．

14. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，n=2，3，4，…．关于数列{a_n}给出下列四个结论：
①数列{a_n+1-na_n}是常数列；                   
②对于任意正整数n，有a_n≤a_n+1成立；
③数列{a_n}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④．
其中全部正确结论的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}，Q={x|a＜x＜2a+6}．
（Ⅰ）求集合∁_UP；
（Ⅱ）若∁_UP⊆Q，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-6ax²．
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）讨论函数y=f（x）的单调性．

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n．a₁=2，S₃=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图，设计建造一个面积为4840m²的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为λ（λ＞1）．沿温室的左、右两侧各留8m宽的空道，上、下两侧各留5m宽的空道．试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x是函数f（x）的极值点，证明：f（x）＜0．

20. 难度：中等

已知n次多项式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整数．记S_n（x）的展开式中x的系数是a_n，x²的系数是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）证明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比数列{c_n}和正数c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项c_n和正数c；若不存在，说明理由．