2012-2013学年浙江省宁波市万里国际学校高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i为虚数单位，则关于 ，下列说法不正确的是（ ）
A．为纯虚数
B．的虚部为-i
C．||=1
D．在复平面上对应的点在虚轴上

2. 难度：中等

下列式子不正确的是（ ）
A．（3x²+xcosx）′=6x+cosx-xsin
B．（sin2x）′=2cos2
C．
D．

3. 难度：中等

已知复数z₁=a+bi，z₂=c+di，（a，b，c，d∈R），下列命题中：
①z₁，z₂不能比较大小；
②若|z₁|≤1，则-1≤z₁≤1；
③；
④若|z₁|+|z₂|=0，则z₁=z₂=0．
其中正确的命题是（ ）
A．②③
B．①③
C．③④
D．②④

4. 难度：中等

用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（ ）
A．1
B．1+2
C．1+2+3
D．1+2+3+4

5. 难度：中等

（A题）直线（t为参数）的倾斜角等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则等（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知二项式的展开式中第四项为常数项，则n等于（ ）
A．9
B．6
C．5
D．3

8. 难度：中等

在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A．24种
B．48种
C．96种
D．144种

9. 难度：中等

甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知随机变量ξ和η，其中η=10ξ+2，且，若ξ的分布列如表，则m的值为（ ）

ξ	1	2	3	4
P		m	n

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． 下列关于f（x）的命题：

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的个数是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

二、填空题

12. 难度：中等

已知f（x）=x³的所有切线中，满足斜率等于1的切线有    条．

13. 难度：中等

已知，则=    ．

14. 难度：中等

复数，则|z|=    ．

15. 难度：中等

俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是    ．

16. 难度：中等

（选做题）在极坐标系中，曲线C₁：ρ=2cosθ，曲线C₂：，若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点则AB=    ．

17. 难度：中等

已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为，则m=    ．

18. 难度：中等

（A题）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，则实数a的取值范围是    ．

19. 难度：中等

（B题）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=2，∠ABC=90°，D、E分别是AC₁和BB₁的中点，则直线DE与平面BB₁C₁C所成的角为    ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的取值范围是    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知甲、乙、丙等6人．
（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？
（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

23. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角：
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范围．

24. 难度：中等

某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η．
（1）写出ξ的概率分布列（不要求计算过程），并求出Eξ，Eη；
（2）求Dξ，Dη．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？

25. 难度：中等

（A题）已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）求证：；
（2）若λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，求实数λ的最大值．

26. 难度：中等

（B题）设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R）．
（1）若f（x）=（1-2x）³，求3a+2b+c-d的值；
（2）若，y=f（x）在x=0处取得极值-1，且过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求b的取值范围．

27. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+αlnx（α∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的最小值为ϕ（α），求ϕ（α）的最大值；
（3）若函数f（x）的最小值为妒ϕ（α），m，n为ϕ（α）定义域A内的任意两个值，试比较   与的大小．