2012-2013学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．f（x）的极大值为，极小值为
B．f（x）的极大值为，极小值为
C．f（x）的极大值为f（-3），极小值为f（3）
D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（-3）

2. 难度：中等

如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰有60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x-y-3=0
B．x+4y-5=0
C．4x-y+3=0
D．x+4y+3=0

4. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x的递减区间是（ ）
A．或
B．（-1，1）
C．（-∞，-1）或（1，+∞）
D．

5. 难度：中等

在某项体育比赛中，八位裁判为一选手打出的分数如下：90     89    90     95    92   94   93   90，求此数据的众数和中位数分别为（ ）
A．90，91
B．90，92
C．93，91
D．93，92

6. 难度：中等

右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5

A．3
B．3.15
C．3.5
D．4.5

7. 难度：中等

若方程f（x）-2=0在（-∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，2）
B．（2，0）
C．（0，-2）
D．（-2，0）

9. 难度：中等

在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y′=2sinx′的伸缩变换是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a≤1）和曲线y=x³围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次（每次罚球结果互不影响）的得分的数学期望是    ．

12. 难度：中等

如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为    ．

13. 难度：中等

已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线的距离的最小值是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
若以直角坐标系的x轴的非负半轴为极轴，曲线l₁的极坐标系方程为（ρ＞0，0≤θ≤2π），直线l₂的参数方程为（t为参数），则l₁与l₂的交点A的直角坐标是    ．

15. 难度：中等

设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥1）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，且各轮次通过与否相互独立．
（I）设该选手参赛的轮次为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）对于（I）中的ξ，设“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．

17. 难度：中等

已知函数，其中a为正实数，是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．

18. 难度：中等

某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

19. 难度：中等

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

20. 难度：中等

已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

21. 难度：中等

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F₁，F₂是圆锥曲线C的左，右焦点．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．

22. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
矩阵，向量，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量，使得．