2012-2013学年广东省广州市执信中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（ ）
A．3π
B．π
C．2π
D．4π

2. 难度：中等

集合M={x|lgx＞0}，N={x|x²≤9}，则M∩N=（ ）
A．（1，3）
B．[1，3）
C．（1，3]
D．[1，3]

3. 难度：中等

已知复数z₁，z₂在复平面内对应的点分别为A（0，1），B（-1，3），则=（ ）
A．-1+3i
B．-3-i
C．3+i
D．3-i

4. 难度：中等

若x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件

5. 难度：中等

双曲线x²-my²=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4

6. 难度：中等

在实验员进行一项实验中，先后要实施5个程序，其中程度A只能出现在第一步或最后一步，程序C或D实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A．15种
B．18种
C．24种
D．44种

7. 难度：中等

已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：
①f（x）在[m，n]内是单调的；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）=存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（）
D．（1，3）

二、填空题

9. 难度：中等

如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A，O之间），EF⊥BC，垂足为F．若，则AB=6，CF•CB=5，则AE=    ．

10. 难度：中等

计算（2x+）dx=    ．

11. 难度：中等

若执行图中的框图，输入N=13，则输出的数等于    ．（注：“S=0”，即为“S←0”或为“S：=0”．）

12. 难度：中等

若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x⁶的系数为    ．（用数字作答）

13. 难度：中等

观察下列不等式：
①＜1；②+；③；…则第5个不等式为    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（，），
（1）若，求
（2）设，若，求的值．

16. 难度：中等

某市举行一次数学新课程骨干培训活动，共邀请15名使用不同版本教材的数学教师，具体情况数据如下表所示：

版本	人教A版		人教B版
性别	男教师	女教师	男教师	女教师
人数	6	a	4	b

现从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的女教师的概率是．且a＞b．
（1）求实数a，b的值
（2）培训活动现随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

17. 难度：中等

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥DE；
（3）当AD多长时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°？

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知F₁（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F₁的距离是它到定直线l距离的倍．设动点M的轨迹曲线为E．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）设点F₂（4，0），若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F₁、F₂到m的距离分别为d₁，d₂，试判断d₁d₂是否为常数，请说明理由．

19. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈R
（1）已知任意三次函数的图象为中心对称图形，若本题中的函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，求实数a和m的值
（2）若|a|＞1，求函数f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意的n≥2，恒有S_n=2S_n-1+n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）若，证明：．