2012-2013学年河北省衡水中学高三（上）第一次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={x|x²-2x-3＜0}，N={x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．（3，+∞）
C．（-∞，-1]
D．（-∞，-1）

2. 难度：中等

已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）=（ ）
A．-2
B．2
C．-98
D．98

3. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|-1＜x≤0}
C．{x|-1＜x＜1}
D．{x|x＞-1}

4. 难度：中等

a＜0是方程ax²+2x+1=0至少有一个负数根的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

（1+cosx）dx等于（ ）
A．π
B．2
C．π-2
D．π+2

6. 难度：中等

已知“命题p：∃x∈R，使得ax²+2x+1＜0成立”为真命题，则实数a满足（ ）
A．0，1）
B．（-∞，1）
C．1，+∞）
D．（-∞，1]

7. 难度：中等

已知函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则a的取值范围（ ）
A．（-∞，4]
B．[4，+∞）
C．[-4，4]
D．（-4，4]

8. 难度：中等

有下面四个判断，其中正确的个数是（ ）
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a²+b²≥2（a-b-1）”的否定是：“∃a、b∈R，a²+b²≤2（a-b-1）”
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

设函数、的零点分别为x₁、x₂，则（ ）
A．0＜x₁x₂＜1
B．x₁x₂=1
C．1＜x₁x₂＜2
D．x₁x₂≥2

10. 难度：中等

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0；
⑤abc＜4；
⑥abc＞4．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③⑤
B．①④⑥
C．②③⑤
D．②④⑥

11. 难度：中等

设0＜a＜1，函数f（x）=log_a（a^2x-2a^x-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-∞，log_a3）
D．（log_a3，+∞）

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2010）
B．（1，2011）
C．（2，2011）
D．[2，2011]

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+x，对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为     ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=（x=2k，k∈N）的图象在[0，+∞）上单调递增，则n=    ．

15. 难度：中等

对于函数f（x）=+（3-a）|x|+b，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x，y），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知关于x的不等式＜0的解集为M．
（1）当a=4时，求集合M；
（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处．若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒．（不考虑水流速度等因素）
（1）请分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间．

19. 难度：中等

将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式和定义域；
（2）求函数y=F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值．

20. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x=f（x），则称x为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下若函数f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂判断下列三个代数式：①x₁+x₂+a，②，③
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

22. 难度：中等

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）
（1）求当x≤-2时，f（x）的表达式；
（2）试讨论：当实数a、m满足什么条件时，函数g（x）=f（x）-m有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列．