2012-2013学年陕西省咸阳市三原县北城中学高三（上）摸底数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁_UQ）=（ ）
A．{1，2，3，4，6}
B．{1，2，3，4，5}
C．{1，2，5}
D．{1，2}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则=（ ）
A．1-2i
B．2-i
C．2+i
D．1+2i

3. 难度：中等

命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

4. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x-3，则f（-2）=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

5. 难度：中等

已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．1cm³
B．2cm³
C．3cm³
D．6cm³

6. 难度：中等

设a∈R，则“a=1”是“直线l₁：ax+2y=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

设f（x）=，g（x）=，则f（g（π））的值为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．π

8. 难度：中等

函数f（x）=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

若直线x-y+1=0与圆（x-a）²+y²=2有公共点，则实数a取值范围是（ ）
A．[-3，-1]
B．[-1，3]
C．[-3，1]
D．（-∞，-3]∪[1，+∞）

10. 难度：中等

袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为    ．

12. 难度：中等

设z=x+2y，其中实数x，y满足 则z的取值范围是    ．

13. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=    ．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）不等式|2x-1|＜3的解集为    ．
B、（选修4-1几何证明选讲） 如图所示，AC和AB分别是⊙O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABC的面积是    ．
C．（坐标系与参数方程选做题）参数方程（α为参数）化成普通方程为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当时求函数f（x）的最大值和最小值．

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）已知c_n=a_n+b_n求c_n的前n项之和T_n．

18. 难度：中等

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件以上
顾客数（人）	x	30	25	y	10
结算时间（分钟/人	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）

19. 难度：中等

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A₁CB；  
（Ⅱ）求证：A₁F⊥BE．

20. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．