2012-2013学年河北省邢台一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

要做一个圆锥形漏斗，母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（ ）
A．cm
B．20cm
C．10cm
D．cm

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

3. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设，则a、b、c三者的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a

4. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（-∞，-3）

5. 难度：中等

设f （x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-3，0）∪（3，+∞）
B．（-3，0）∪（0，3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

二、填空题

6. 难度：中等

设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为     ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为    ．

8. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为    ．

9. 难度：中等

如图阴影部分是由曲线y=，y²=x与直线x=2，y=0围成，则其面积为    ．

三、解答题

10. 难度：中等

设函数f（x）=e^x-e^-x．
（1）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（2）若对所有x≥0都有 f（x²-1）＜e-e^-1，求x的取值范围．

11. 难度：中等

设函数φ）（0＜φ＜π），且f（x）+f′（x）为奇函数．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）+f′（x）的最值．

12. 难度：中等

设函数，
（1）对于任意实数x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b为实数，
（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）=．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的值域；
（2）设a≠0，函数，x∈[0，2]．若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求实数a的取值范围．

四、选择题

16. 难度：中等

dx等于（ ）
A．-2ln2
B．2ln2
C．-ln2
D．ln2

17. 难度：中等

在函数y=x³-8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

18. 难度：中等

己知f（x）=-x³-x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（ ）
A．至少有三个实数根
B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根
D．无实根

19. 难度：中等

设函数f（x）=g（x）+x²，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（ ）
A．4
B．-
C．2
D．-

20. 难度：中等

已知函数f（x）=若f′（a）=1，则a=（ ）
A．log₂e或log₂（log₂e）
B．ln2
C．log₂e
D．2或log₂（log₂e）

21. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．0

22. 难度：中等

曲线y=在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=x-2
B．y=-3x+2
C．y=2x-3
D．y=-2x+1